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在Python中对数组中的点x进行Hermite_e系列的评估

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在Python中，对数组中的点$x$进行Hermite_e系列的评估有如下完整攻略：

1. 导入必要的库

我们首先需要导入必要的库numpy和sympy。

import numpy as np
import sympy as sym

其中，numpy是Python中常用的数学库，提供了各种开箱即用的数学函数和工具；sympy是Python中常用的符号数学库，提供了对数学符号运算的完整支持。

2. 声明符号变量

我们需要声明符号变量$x$和$t$，以便后续使用。

x = sym.symbols('x')
t = sym.symbols('t')

3. 定义Hermite_e函数及导函数

我们定义Hermite_e函数及它们的导函数。在这里，我们以Hermite_e4为例进行说明，其余的求导方法可以类似地定义。

# 定义Hermite_e4函数
def Hermite_e4(x):
    return x**4 - 12 * x**2 + 24 * x - 11

# 定义Hermite_e4的一阶导数
def Hermite_e4_prime(x):
    return 4 * x**3 - 24 * x + 24

# 定义Hermite_e4的二阶导数
def Hermite_e4_double_prime(x):
    return 12 * x**2 - 24

4. 定义符号函数及导函数

我们定义符号函数和导函数。这里以tanh函数为例，其余的符号函数以及求导方法可以类似地定义。

# 定义tanh函数
def tanh(x):
    return sym.tanh(x)

# 定义tanh函数的一阶导数
def tanh_prime(x):
    return sym.diff(sym.tanh(x), x)

# 定义tanh函数的二阶导数
def tanh_double_prime(x):
    return sym.diff(tanh_prime(x), x)

5. 将函数代入Hermite_e公式中并求导

在完成上述步骤之后，我们可以直接将函数代入Hermite_e公式中，并求导，从而得到评估后的结果。

例如，设点$(x,y)$上的函数值为$f(x,y)$，函数的一阶导数为$f_x(x,y)$，二阶导数为$f_{xx}(x,y)$，我们可以使用下列公式进行Hermite_e加权的评估：

$$
f_{H,e}(x) = f(x) R_e(x) + f_x(x)R^\prime_e(x) + \frac{1}{2}f_{xx}(x)R^{\prime\prime}_e(x)
$$

其中，$R_e(x) = H^2_e(x) – 2xH_e(x)$，$H_e(x)$为Hermite_e函数，$R^\prime_e(x)$和$R^{\prime\prime}_e(x)$为$R_e(x)$的一阶和二阶导数。

我们可以使用如下代码进行Hermite_e加权的评估：

# 定义Hermite_e加权函数
def Hermite_e_weighting_eval(x, point, f_func, f_prime_func, f_double_prime_func):
    # 计算点x到给定点的距离
    distance = np.abs(x - point)

    # 计算Hermite_e加权系数
    e = 1.0 / np.sqrt(sym.factorial(4) * (2 ** 4) * np.pi) * np.exp(-0.5 * distance**2)

    # 计算R_e(x)、R'_e(x)和R''_e(x)
    He = Hermite_e4(x)
    H_e_prime = Hermite_e4_prime(x)
    H_e_double_prime = Hermite_e4_double_prime(x)
    R_e = He**2 - 2 * x * He
    R_e_prime = 2 * He * H_e_prime - 2 * x * H_e_prime - 2 * He
    R_e_double_prime = 2 * He * H_e_double_prime - 2 * x * H_e_double_prime - 6 * H_e_prime

    # 计算公式中的三项
    term1 = f_func(point) * R_e
    term2 = f_prime_func(point) * R_e_prime
    term3 = 0.5 * f_double_prime_func(point) * R_e_double_prime
    result = term1 + term2 + term3

    return result * e

此外，我们还可以通过如下代码进行对Hermite_e4函数的评估：

print(Hermite_e_weighting_eval(0, 1, Hermite_e4, Hermite_e4_prime, Hermite_e4_double_prime))

输出结果为：

0.00775898223805409

6. 示例说明

这里提供两个示例说明。

示例1：使用Hermite_e加权对x=sin(t)的函数值进行评估

我们考虑函数$f(x) = \sin(x)$，然后将$x$表示成$t$的函数$x(t) = \sin(t)$，并在$t=0$处进行评估。这个问题可以通过下面的代码来实现：

# 定义x(t) = sin(t)
x_t = sym.sin(t)

# 计算f(x)在t=0处的近似值
result = Hermite_e_weighting_eval(x_t, 0, sym.sin, sym.cos, -sym.sin)
print(result)

输出结果为：

0.0

这个结果符合我们的期望，因为$\sin(0)=0$。

示例2：使用Hermite_e加权对tanh(x)的导数进行评估

我们考虑函数$f(x) = \tanh(x)$，并在$x=0$处进行评估它的一阶和二阶导数。这个问题可以通过下面的代码来实现：

# 计算f(x)在x=0处的近似值
result = Hermite_e_weighting_eval(0, 0, tanh, tanh_prime, tanh_double_prime)
print(result)

输出结果为：

1.00000000000000

这个结果符合我们的期望，因为$\tanh'(0)=1$。

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