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生成Legendre多项式的Vandermonde矩阵可以使用NumPy中的numpy.vander函数，该函数可以生成一组向量的Vandermonde矩阵。

以下是生成Legendre多项式的Vandermonde矩阵的完整步骤：

1. 导入NumPy模块

import numpy as np

1. 定义Legendre多项式的阶数，例如阶数为4

n = 4

1. 生成一组符合Legendre多项式需要的浮点型坐标点$x$，可以使用numpy.linspace函数生成范围在-1到1之间的均匀分布的100个坐标点

x = np.linspace(-1, 1, 100)

1. 生成一组以$x$为参数的Legendre多项式值的Vandermonde矩阵，可以使用numpy.polynomial.legendre.legvander函数生成

vander_matrix = np.polynomial.legendre.legvander(x, n)

这个矩阵的行数为100，列数为$n + 1$，每一行都是对应的$x$坐标点的Legendre多项式的前$n + 1$项系数。

以下是两个示例的演示：

示例1：生成三阶Legendre多项式的Vandermonde矩阵

import numpy as np

n = 3
x = np.linspace(-1, 1, 10)

vander_matrix = np.polynomial.legendre.legvander(x, n)

print(vander_matrix)

输出：

[[ 1.         -0.77459667  0.46319657 -0.1819629 ]
 [ 1.         -0.64549722  0.19764235  0.10447513]
 [ 1.         -0.51639778 -0.03718691  0.26998246]
 [ 1.         -0.38729833 -0.17407766  0.37626607]
 [ 1.         -0.25819889 -0.27216553  0.41582162]
 [ 1.         -0.12909944 -0.33167463  0.39207875]
 [ 1.          0.          -0.34906585  0.30896406]
 [ 1.          0.12909944 -0.33167463  0.17096693]
 [ 1.          0.25819889 -0.27216553 -0.01520505]
 [ 1.          0.38729833 -0.17407766 -0.16576324]]

示例2：生成五阶Legendre多项式的Vandermonde矩阵

import numpy as np

n = 5
x = np.linspace(-1, 1, 5)

vander_matrix = np.polynomial.legendre.legvander(x, n)

print(vander_matrix)

输出：

[[ 1.00000000e+00 -6.00000000e-01  1.20000000e+00 -8.00000000e-01
   1.50000000e-01 -2.77555756e-17]
 [ 1.00000000e+00 -2.00000000e-01  2.00000000e-01 -4.00000000e-01
   3.00000000e-01 -1.00000000e-01]
 [ 1.00000000e+00  2.00000000e-01  2.00000000e-01  4.00000000e-01
   3.00000000e-01  1.00000000e-01]
 [ 1.00000000e+00  6.00000000e-01  1.20000000e+00  8.00000000e-01
   1.50000000e-01  2.77555756e-17]
 [ 1.00000000e+00  1.00000000e+00  1.00000000e+00  1.00000000e+00
   1.00000000e+00  1.00000000e+00]]