博客

首先，需要导入numpy库，可以使用以下命令：

import numpy as np

假设我们有两个一维数组x和y，现在我们需要它们的笛卡尔乘积。可以使用numpy.meshgrid()函数来获取。

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])

X, Y = np.meshgrid(x, y)

这样会得到两个二维数组X和Y，其中X的每一行都是数组x的复制，而Y的每一列都是数组y的复制。X和Y分别代表了笛卡尔坐标系中的横坐标和纵坐标。这个操作相当于将一维数组变成了二维数组。

接下来，我们需要用这些点来计算二维赫米特级数。一个赫米特多项式是一系列多项式，满足一定的递归关系。这里我们使用的是二维赫米特级数，其具体定义为：

$$
H_{m,n}(x,y)=(-1)^n e^{-(x^2+y^2)/2} \frac{d^n}{dy^n} \frac{d^m}{dx^m} e^{(x^2+y^2)/2}
$$

这里的$m$和$n$是级数的阶数。可以通过这个公式来计算每一个坐标点处的赫米特级数。

def hermite_2d(x, y, m, n):
    return (-1)**n * np.exp(-(x**2 + y**2) / 2) * np.polyval(np.polynomial.hermite.Hermite(m), x) * np.polyval(np.polynomial.hermite.Hermite(n), y)

H = hermite_2d(X, Y, 3, 4) # 计算3阶x轴方向和4阶y轴方向的赫米特级数

这里的np.polynomial.hermite.Hermite(m)表示一阶到$m$阶的赫米特多项式系数，将$x$代入多项式中就能得到对应的多项式值。同理，np.polyval(np.polynomial.hermite.Hermite(n), y)表示对应的$y$轴方向多项式系数和多项式求值。

最后，如果我们需要使用一个三维系数阵列，可以再次使用numpy.meshgrid()函数来获取三个坐标轴的笛卡尔乘积，即$x$轴、$y$轴、$z$轴的坐标点笛卡尔乘积：

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
z = np.array([0.1, 0.2])

X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij') # 使用`indexing='ij'`来保持与其他坐标系的一致性

这样会得到三个三维数组X、Y、Z，其中X的每一层都是数组x的复制，Y的每一层都是数组y的复制，Z的每一行都是数组z的复制。X、Y、Z分别代表三个坐标轴的坐标值。

然后，按照以上方式计算每一个坐标点的赫米特级数。这样可以得到一个三维数组：

def hermite_3d(x, y, z, m, n, p):
    return (-1)**(n+p) * np.exp(-(x**2 + y**2 + z**2) / 2) * np.polyval(np.polynomial.hermite.Hermite(m), x) * np.polyval(np.polynomial.hermite.Hermite(n), y) * np.polyval(np.polynomial.hermite.Hermite(p), z)

H = hermite_3d(X, Y, Z, 2, 3, 1) # 计算2阶x轴方向、3阶y轴方向和1阶z轴方向的赫米特级数