动态规划算法详解
什么是动态规划算法？
动态规划算法（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决多段决策问题的数学方法。它在求解一个问题时，通常是把大问题分解为小问题，解决小问题并保存答案，最后再将答案组合成大问题的解决方案。
动态规划算法常常应用于优化问题，具有高效、简单的优点。在算法竞赛，数据压缩，游戏策略等领域有着广泛的应用。
动态规划算法的思想
动态规划的通用思想就是将原问题分解为子问题进行求解，然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。这一种方法需要使用一个表格来保存子问题的解，以防止重复计算。
简单理解：通过对原始问题的分解，将问题转化成多个阶段的子问题。对每个子问题只计算一次，将其解存储起来，作为下一次同类子问题的参考，从而避免了大量的重复计算。
动态规划算法的适用条件
- 求一个问题的最优解；
- 用递归的方法效率低下；
- 问题可分解为子问题，并且子问题具有最优子结构性质；
- 能够存储子问题的解；
动态规划算法的实现步骤
- 找出问题的递推关系，并用数学公式表示；
- 记忆化搜索，记录每一个状态的答案，避免重复求解；
- 保存遍历过的最优解，用于更新最优解的状态；
- 按照递推规律从小规模的问题一步步递增直到解决原问题；
下面分别用两个具体的例子来讲解动态规划算法的实现方法。
示例一：背包问题
问题描述：一个背包有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，背包能容纳的重量为W。如何选择能够使得背包内的物品总价值最大？
首先我们需要解决的问题是，如何表示问题的递推公式？
- 设置状态：记录背包重量为j时，所选择的前i个物品的最大价值，记为f(i,j)。
- 状态转移方程：f(i,j) = max{f(i-1,j-wi)+vi, f(i-1,j)}。
def knapsack(v, w, W):
n = len(v)
f = [[-1] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]
f[0][0] = 0
for i in range(1, n + 1):
for j in range(W + 1):
f[i][j] = f[i - 1][j]
if j >= w[i - 1] and f[i - 1][j - w[i - 1]] != -1:
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1])
return max(f[n])
上面的代码中，v表示物品的价值，w表示物品的重量，W表示背包的容量。
示例二：斐波那契数列
问题描述：斐波那契数列序列中的每一项都是前两项的和。序列的前两项分别是1和1或0和1。编写一个函数计算第N项斐波那契数的值。
如何表示问题的递推公式？
- 设置状态：记录第i个斐波那契数列的值。
- 状态转移方程：f(i) = f(i-1) + f(i-2)，其中f(1)=1，f(2)=1。
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
f = [0] * (n+1)
f[1], f[2] = 1, 1
for i in range(3, n+1):
f[i] = f[i-1] + f[i-2]
return f[n]
上面的代码中，用列表f来记录每一个斐波那契数列的值。
总结
以上两个小例子展示了动态规划算法的实现方法，实质上就是寻找递推公式，然后根据递推公式进行求解。虽然动态规划算法看起来有些抽象，但一旦理解，它能够解决很多复杂问题，提高计算机程序研发的效率。