博客

详解N皇后问题原理与使用方法

N皇后问题详解

什么是N皇后问题？

N皇后问题是一个经典的计算机科学问题，它的目标是在一个N x N的棋盘上放置N个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。在这个问题中，皇后可以沿着水平、垂直和对角线移动，并且在同一行、同一列或者同一对角线上有两个或多个皇后时，它们会攻击对方。

如何解决N皇后问题

N皇后问题的解决方法主要有两类：回溯算法和位运算。其中回溯算法是最经典的解决方法，而位运算则是一个比较新的解决方法。

回溯算法

回溯算法是N皇后问题的主要解决方法，其基本思路是通过递归和回溯来枚举所有可能的解，直到找到符合条件的解为止。其中，关键在于如何定义状态和判断条件。

在N皇后问题中，我们可以将状态定义为一个一维数组，数组中第i个元素表示第i行皇后所在的列数。在回溯算法中，我们逐行遍历，对于每一行都枚举其所有可能的位置，如果一个位置合法，则将其标记为已访问，并进入下一行递归。如果下一行无法找到合法的位置，则回溯到上一行继续搜索。

以下是一个示例代码：

def backtrack(n, row, col, pie, na, curr, res):
    # 如果已经遍历到最后一行，则保存结果并返回
    if row == n:
        res.append(curr)
        return 
    # 遍历当前行的每一列 
    for c in range(n):
        # 判断当前位置是否合法
        if col[c] + pie[row + c] + na[row - c] == 0:
            col[c] = pie[row + c] = na[row - c] = 1
            row_str = '.' * c + 'Q' + '.' * (n - c - 1)
            backtrack(n, row + 1, col, pie, na, curr + [row_str], res)
            col[c] = pie[row + c] = na[row - c] = 0

位运算

位运算是一个比较新的解决N皇后问题的方法，其基本思路是将状态压缩为一个二进制数，用位运算来判断合法性和递归调用。由于这种方法很快而且使用内存很小，因此在处理大规模的N皇后问题时特别有效。

以下是一个示例代码：

def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
    def dfs(row: int, col: int, ld: int, rd: int, path: List[int], res: List[List[int]]):
        if row == n:
            res.append(path)
            return
        avail_pos = ((1 << n) - 1) & (~(col | ld | rd))
        while avail_pos:
            pos = avail_pos & (-avail_pos) # 获取最低位的1
            col |= pos
            ld |= pos << row
            rd |= pos >> row
            dfs(row + 1, col, ld, rd, path + [pos], res)
            col &= (~pos)
            ld &= (~(pos << row))
            rd &= (~(pos >> row))
            avail_pos &= (avail_pos - 1) # 去掉最低位的1
    res = []
    dfs(0, 0, 0, 0, [], res)
    return [['.' * (n - 1 - bit_len(pos)) + 'Q' + '.' * bit_len(pos) 
             for pos in sol] for sol in res]

如何使用N皇后问题

N皇后问题可以帮助我们深入理解回溯算法、位运算等算法思想，并且可以用来检验代码实现的正确性和优化算法效率。在具体应用中，N皇后问题也可以作为一个图形化游戏或者挑战的组成部分，可以为用户提供一定的乐趣和挑战感。

以下是两个示例：

示例1：求解N皇后问题的解数

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        self.count = 0  
        def dfs(cols, diag, anti_diag):
            row = len(cols)
            if row == n:
                self.count += 1
                return 
            for col in range(n):
                if col not in cols and row - col not in diag and row + col not in anti_diag:
                    dfs(cols + [col], diag + [row - col], anti_diag + [row + col])
        dfs([], [], [])
        return self.count

示例2：绘制N皇后问题的棋盘

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        def dfs(row, col, diag, anti_diag, path, res):
            if row == n:
                res.append(path)
                return 
            for c in range(n):
                if c not in col and row - c not in diag and row + c not in anti_diag:
                    dfs(row + 1, col + [c], diag + [row - c], anti_diag + [row + c], 
                        path + [['.' if j!=c else 'Q' for j in range(n)]], res)
        res = []
        dfs(0, [], [], [], [], res)
        return res

以上就是N皇后问题的详细讲解，希望对你有所帮助。

Tags: