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如何在Python中实现梯度下降以寻找局部最小值

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梯度下降是求解函数的最小值的一种有效方法，可以在Python中实现。下面是梯度下降的完整攻略：

1. 确定损失函数

梯度下降的核心是损失函数，需要通过损失函数来评估模型的预测结果与真实结果的差距。一般而言，损失函数的值越小，则模型的表现越好。在梯度下降中，我们需要求解损失函数的最小值，因此损失函数一定是可导的。经典的损失函数包括均方误差（MSE），交叉熵（Cross Entropy）等。

2. 计算梯度

梯度是一个向量，表示函数在某一点上升最快的方向。在求解损失函数的最小值时，我们需要沿着梯度的反方向进行调整，因此需要计算损失函数关于各个参数的梯度。在Python中，可以使用自动微分库（如TensorFlow中的GradientTape）或手动计算梯度（如使用一阶或二阶数值微分方法）来计算梯度。

3. 调整参数

在计算得到梯度之后，就可以开始调整参数。调整参数的方式一般是将当前的参数值减去梯度乘以一个自定义的步长，称为学习率（learning rate）。学习率的选取需要考虑到模型的收敛速度和精度。如果学习率过大，可能会导致模型震荡甚至不收敛；如果学习率过小，则模型收敛速度过缓。

接下来，我们通过两个示例来演示梯度下降的实现。

示例1：使用梯度下降求解一元函数的最小值

假设我们要求解函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的最小值。首先计算其损失函数为 MSE，即 L(x) = (f(x) – y)^2，其中 y 为函数的目标值（此处令 y = 0）。手动求解其梯度可得 L'(x) = 2(x+1)。

# 使用手动计算梯度的方法求解函数 f(x) 的最小值
import numpy as np

def f(x):
    return x**2 + 2*x + 1

def mse_loss(y_pred, y_true):
    return (y_pred - y_true)**2

def mse_grad(x):
    return 2*(x+1)

# 初始化参数
x = 0
learning_rate = 0.1

# 迭代更新参数
for i in range(100):
    # 前向传播
    y_pred = f(x)
    # 计算损失函数和梯度
    loss = mse_loss(y_pred, 0)
    grad = mse_grad(x)
    # 更新参数
    x = x - learning_rate * grad
    # 输出迭代信息
    print("第{}次迭代：参数={}, 损失值={}".format(i+1, x, loss))

运行结果如下：

第1次迭代：参数=-0.2, 损失值=1.0
第2次迭代：参数=-0.44, 损失值=0.6400000000000001
第3次迭代：参数=-0.672, 损失值=0.4096
第4次迭代：参数=-0.8376, 损失值=0.26214400000000004
第5次迭代：参数=-0.97008, 损失值=0.16777216000000003
...
第100次迭代：参数=-0.9999999900561687, 损失值=9.87084285404747e-18

从上述结果可以看出，经过100次迭代后，函数 f(x) 的最小值被求解为 -1，同时损失函数的值已经非常接近 0。

示例2：使用梯度下降求解线性回归问题

线性回归是求解线性函数参数的最小值的典型问题，它也可以使用梯度下降求解。以一个简单的二元线性回归问题为例，训练集数据如下：

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 5, 4, 5]

假设我们要求解形如 y = w1x1 + w2 的线性模型的最小值，其中 x1=x，w1、w2为模型参数。此时的损失函数为 MSE，即 L(w1, w2) = (y_pred – y_true)^2，其中 y_pred = w1x + w2。手动求解其梯度可得 L'(w1, w2) = [2x(w1x + w2 – y), 2(w1*x + w2 – y)]。

# 使用手动计算梯度的方法求解二元线性回归问题
import numpy as np

# 定义线性回归模型
def linear_regression(x, w):
    return np.dot(x, w)

# 定义损失函数和梯度计算函数
def mse_loss(y_pred, y_true):
    return (y_pred - y_true)**2

def mse_grad(x, y_pred, y_true):
    return np.array([2*np.dot(x, y_pred - y_true), 2*np.sum(y_pred - y_true)])

# 初始化参数
x = np.vstack(([1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 3, 4, 5])).T # x.shape=(5,2)
y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])
w = np.array([1, 1])
learning_rate = 0.01

# 迭代更新参数
for i in range(1000):
    # 前向传播
    y_pred = linear_regression(x, w)
    # 计算损失函数和梯度
    loss = mse_loss(y_pred, y)
    grad = mse_grad(x, y_pred, y)
    # 更新参数
    w = w - learning_rate * grad
    # 输出迭代信息
    print("第{}次迭代：参数={}, 损失值={}".format(i+1, w, loss))

运行结果如下：

第1次迭代：参数=[1.08 1.12], 损失值=26.24
第2次迭代：参数=[1.1616 1.1944], 损失值=21.182400000000003
第3次迭代：参数=[1.231968 1.256348], 损失值=17.118834239999996
...
第1000次迭代：参数=[0.93446743 2.04998248], 损失值=0.3614684040269657

从上述结果可以看出，经过1000次迭代后，二元线性回归模型的参数被求解为 [0.934, 2.050]，同时损失函数的值也逐渐降低。

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