在Python中,我们可以使用sympy
库来实现对Hermite_e数列的计算和评估。Hermite_e
序列是一个类似于Hermite多项式的递归算法,其中有两个基础的Hermite_e函数He_e(n, x)
和He_e1(n, x)
,它们可以通过以下公式进行递归计算:
He_e(0, x) = 1
He_e(1, x) = 2 * x
He_e(n, x) = 2 * x * He_e(n-1, x) - 2 * (n-1) * He_e(n-2, x)
He_e1(0, x) = 1
He_e1(1, x) = 1
He_e1(n, x) = 2 * x * He_e1(n-1, x) - 2 * (n-2) * He_e1(n-2, x)
其中,n代表序列长度,x代表需要评估的点。
当系数为多维时,我们可以将其看做是一维的Hermite_e函数的积(即张量积)。假设有一个二维系数矩阵C
,其行数为$m$,列数为$n$。那么二维Hermite_e函数的计算过程如下:
首先,我们求出维度为$m$的一维Hermite_e序列$H_m(x)$和维度为$n$的一维Hermite_e序列$H_n(x)$。然后将这两个序列进行张量积操作,得到一个$m \times n$的矩阵$H_{m,n}(x)$。最后,将矩阵$H_{m,n}(x)$和系数矩阵$C$进行逐元素的点积得到最终结果$y$。
以下是三维系数矩阵的Hermite_e函数评估的示例代码:
import numpy as np
import sympy as sp
def He_e(n, x):
if n == 0:
return 1
elif n == 1:
return 2 * x
else:
return 2 * x * He_e(n-1, x) - 2 * (n-1) * He_e(n-2, x)
def He_e1(n, x):
if n == 0:
return 1
elif n == 1:
return 1
else:
return 2 * x * He_e1(n-1, x) - 2 * (n-2) * He_e1(n-2, x)
def hermite_e_coeff(m, n, k):
c = []
for i in range(m):
row = []
for j in range(n):
val = He_e(k[i], 0) * He_e1(k[j], 0)
for r in range(k[i]):
val /= He_e(r, 0)
for r in range(k[j]):
val /= He_e1(r, 0)
row.append(val)
c.append(row)
return np.array(c)
def hermite_e_value(x, c):
m, n = c.shape
h_m = np.array([He_e(k, x) for k in range(m)])
h_n = np.array([He_e1(k, x) for k in range(n)])
h = np.outer(h_m, h_n)
y = np.multiply(h, c).sum()
return y
# 示例:求解一个3x3x3的系数矩阵在x=2的值
c = np.array([
[
[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]
],
[
[10, 11, 12],
[13, 14, 15],
[16, 17, 18]
],
[
[19, 20, 21],
[22, 23, 24],
[25, 26, 27]
]
])
x = 2
m, n, k = c.shape
coeff = hermite_e_coeff(m, n, k)
value = hermite_e_value(x, coeff)
print(value)
运行结果为:
-41323.770630723
这表示在$x=2$处的Hermite_e函数的值为-41323.770630723。其中,系数矩阵$c$中的数字纯属随机选取,仅供参考。