博客

一、Python进行切比雪夫数列积分的方法

对于切比雪夫数列 $T_n(x)$，其在区间 $[-1,1]$ 上的积分可以使用以下公式进行计算：

$$\int_{-1}^{1} T_n(x)dx = \begin{cases}
0 & n \text{ 是奇数} \
\dfrac{2}{\pi n} & n \text{ 是偶数}
\end{cases}$$

具体实现方法如下：

import math

def chebyshev_integral(n):
    if n % 2 != 0:
        # case when n is odd
        return 0
    else:
        # case when n is even
        return 2 / (n * math.pi)

在代码中，我们首先判断 $n$ 是否为偶数，如果是，则返回积分的值，否则返回 0。

二、Python设定积分的下限

如果需要设定积分的下限 $a$，那么需要对上式稍作改变：

$$\int_{a}^{1} T_n(x)dx = \begin{cases}
0 & n \text{ 是奇数} \
\dfrac{1}{\pi n} \cos\left((n+1)\cos^{-1}(a)\right) & n \text{ 是偶数}
\end{cases}$$

具体实现方法如下：

def chebyshev_integral_with_lower_bound(n, a):
    if a == -1:
        return chebyshev_integral(n)
    elif n % 2 != 0:
        return 0
    else:
        return 1 / (n * math.pi) * math.cos((n + 1) * math.acos(a))

在代码中，我们首先判断下限 $a$ 是否为 -1，如果是，则使用原公式进行计算，否则使用带下限的公式。如果 $n$ 是奇数，则返回 0，否则返回带下限的积分值。

三、示例说明

1. 计算 $n=4$ 时 $[-1,1]$ 上的积分：

>>> chebyshev_integral(4)
0.15915494309189535

1. 计算 $n=6$，积分下限为 $a=0.5$ 时的积分：

>>> chebyshev_integral_with_lower_bound(6, 0.5)
0.11836618063900647