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在Python中使用NumPy对x和y的笛卡尔乘积的二维赫米特级数进行评估，并使用三维系数阵列

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  1. 简介

NumPy是一个用Python进行科学计算的库，在NumPy中，可以使用array对象来存储和操作数据，这个对象和列表很相似。x和y的笛卡尔乘积指的是从两个向量中取一个元素构成一个二元组，从而组成一个向量的集合。二维赫米特级数指的是一个由一组正交的赫米特多项式构成的基向量，可以用于表示一个积分空间中的任意矢量。三维系数阵列是用于表示二维赫米特级数中每个向量在基向量中的系数的数组。

  1. 示例一

假设有两个向量x和y

import numpy as np
x = np.array([1,2,3])
y = np.array([4,5,6])

我们可以使用meshgrid函数生成二维数组xx和yy，这个数组由x和y的笛卡尔积计算得到。注意这里xx和yy的维度是相同的。

xx, yy = np.meshgrid(x, y)

现在我们可以使用二维赫米特级数构建一个矢量v，然后计算v在基向量中的系数。

from scipy.special import h_roots
from scipy.integrate import simps

roots, weights = h_roots(10)
v = np.exp(-np.power(xx, 2) - np.power(yy, 2))
coeffs = np.zeros(10)
for i in range(10):
    coeffs[i] = simps(simps(weights[i] * v * h_roots(i)[0], x), y)

使用subplot函数可以将x和y的笛卡尔乘积、二维赫米特级数和系数阵列绘制在同一张图上。

import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure(figsize=(12, 4))
ax1 = fig.add_subplot(131)
ax1.set_title('Cartesian Product')
ax2 = fig.add_subplot(132)
ax2.set_title('Hermite Polynomial Basis')
ax3 = fig.add_subplot(133, projection='3d')
ax3.set_title('Coefficient Array')
ax1.scatter(xx, yy, c=v, cmap='coolwarm')
ax2.scatter(xx, yy, c=coeffs[np.newaxis, ...].repeat(len(x), 0).repeat(len(y), 1), cmap='coolwarm')
xv, yv = np.meshgrid(x, y, indexing='ij')
ax3.plot_surface(xv, yv, coeffs[np.newaxis, ...].repeat(len(x), 0).repeat(len(y), 1), cmap='coolwarm')
plt.show()

在这张图中，左侧的图形是x和y的笛卡尔积，中间的图形是基于二维赫米特级数构造的矢量，右侧的图形是系数阵列，其中每个元素都表示该矢量在对应基向量中的系数。

  1. 示例二

假设现在有两个向量u和v，以及二维实值函数f(u, v)，我们可以使用NumPy计算f在x和y的笛卡尔积上的值，并且使用三维系数阵列来表示二维赫米特级数中每个矢量的系数。

u = np.array([0, 1])
v = np.array([2, 3])
def f(u, v):
    return np.sin(u * v)
xx, yy = np.meshgrid(x, y)
f_values = f(xx, yy)
roots, weights = h_roots(10)
coeffs = np.zeros((10, 10))
for i in range(10):
    for j in range(10):
        coeffs[i, j] = simps(simps(weights[i] * weights[j] * f_values *
                                    np.exp(-xx**2 - yy**2) * h_roots(i)[0] * h_roots(j)[0], x), y)

最后，我们可以使用plot_surface函数将系数阵列绘制为三维图形。

fig2 = plt.figure()
ax = fig2.add_subplot(111, projection='3d')
X, Y = np.meshgrid(h_roots(10)[0], h_roots(10)[0], indexing='ij')
ax.plot_surface(X, Y, coeffs, cmap='coolwarm')
ax.set_xlabel('i')
ax.set_ylabel('j')
plt.show()

在这张图中，我们使用三维图形来呈现系数阵列的信息，其中沿着z轴的值表示二维赫米特级数中每个矢量在对应基向量中的系数。

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