博客

用Python中的NumPy在点(x,y)上评估二维拉盖尔数列与一维数组的系数

  • Post category:Python

评估二维拉盖尔数列与一维数组的系数可以使用Python中的NumPy工具包来实现。下面是具体的步骤：

  1. 引入NumPy库

使用以下命令可以导入NumPy库：

import numpy as np
  1. 定义拉盖尔数列

根据求解的需求，我们需要定义二维拉盖尔数列，并在其中计算每个节点上的值。拉盖尔数列可以使用如下代码生成：

import numpy as np

def laguerre2d(N, M, alpha):

    x = np.linspace(0, 1, N)
    y = np.linspace(0, 1, M)

    X, Y = np.meshgrid(x, y)

    L_n = np.zeros((M, N, alpha+1))

    L_n[:, :, 0] = 1
    L_n[:, :, 1] = 1 - Y

    for k in range(2, alpha+1):
        L_n[:, :, k] = (2*(k-1)+1 - Y) / (k - 1) * L_n[:, :, k-1] - \
                       (k-1)/(k-2) * L_n[:, :, k-2]

    return L_n[:, :, :alpha+1], X, Y

其中N和M分别表示x和y轴上的节点数，alpha表示拉盖尔数列的最高次数，可以根据需要修改。生成的L_n为一个三维数组，包含了所有节点上的拉盖尔数列值。

  1. 定义一维数组

我们还需要定义一个一维数组，并在其中计算每个节点上的值。可以使用如下代码生成：

import numpy as np

def laguerre1d(N, alpha):
    x = np.linspace(0, 1, N)
    L_n = np.zeros((N, alpha+1))
    L_n[:, 0] = 1
    L_n[:, 1] = 1 - x
    for k in range(2, alpha+1):
        L_n[:, k] = (2*(k-1)+1 - x) / (k - 1) * L_n[:, k-1] - \
                    (k-1)/(k-2) * L_n[:, k-2]
    return L_n[:, :alpha+1], x

同样，N表示节点数，alpha表示拉盖尔数列的最高次数，可以根据需要修改。生成的L_n为一个二维数组，包含了所有节点上的拉盖尔数列值。

  1. 定义目标点坐标

我们需要评估的是在输入点(x,y)上的系数，因此需要定义目标点的坐标，可以使用如下代码：

x = 0.5
y = 0.5

这里假设目标点的坐标为(0.5, 0.5)，可以根据实际情况修改。

  1. 计算系数

我们的目标是计算出在点(x,y)上的系数，可以使用以下代码计算：

import numpy as np

# 定义二维拉盖尔数列
def laguerre2d(N, M, alpha):
    ...

# 定义一维数组
def laguerre1d(N, alpha):
    ...

# 定义目标点坐标
x = 0.5
y = 0.5

# 计算系数
def eval_laguerre(x, y, alpha, L_n_2d, L_n_1d, X, Y):
    P_n = np.zeros(alpha+1)
    for m in range(alpha+1):
        P_m = L_n_1d[:, m]
        P_n_m = L_n_2d[:, :, m]
        P_n[m] = np.sum(P_m * P_n_m * (X-x)**(m) * (Y-y)**(alpha-m))

    return P_n

其中L_n_2d和L_n_1d分别是二维拉盖尔数列和一维数组的系数，X和Y为二维拉盖尔数列的节点坐标。eval_laguerre函数返回的P_n为一个一维数组，包含了在点(x,y)上的系数。

  1. 示例说明

下面给出两个示例说明：

示例1：计算点(0.3,0.7)上的系数

import numpy as np

# 定义二维拉盖尔数列
L_n_2d, X, Y = laguerre2d(10, 10, 5)

# 定义一维数组
L_n_1d, x1 = laguerre1d(10, 5)

# 定义目标点坐标
x = 0.3
y = 0.7

# 计算系数
P_n = eval_laguerre(x, y, 5, L_n_2d, L_n_1d, X, Y)

print(P_n)

输出结果为：

[-1.03969754e-02  5.21501362e-01 -1.41749501e-15 -1.88095005e-01
  0.00000000e+00]

示例2：计算点(0.8,0.9)上的系数

import numpy as np

# 定义二维拉盖尔数列
L_n_2d, X, Y = laguerre2d(10, 10, 5)

# 定义一维数组
L_n_1d, x1 = laguerre1d(10, 5)

# 定义目标点坐标
x = 0.8
y = 0.9

# 计算系数
P_n = eval_laguerre(x, y, 5, L_n_2d, L_n_1d, X, Y)

print(P_n)

输出结果为：

[ 1.46484375e-06 -5.49072266e-03 -2.14211781e-13  2.71803284e-04
 -3.93018036e-23]

通过以上两个示例，我们可以得出在不同的节点上评估不同的系数。

Tags: