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详解N皇后问题原理与使用方法

N皇后问题

N皇后问题是一个经典的组合问题，旨在寻找在N x N的棋盘上放置N个皇后的所有不同的可能和数量。皇后是棋子中的一个。

在这个问题中，“攻击”是指一个皇后能够攻击另一个皇后，如果它们在同一行、同一列，或者同一斜线上。

作用

N皇后问题是一个经典的算法问题，它可以帮助我们理解递归算法和回溯算法的实现方法。同时，它也可以应用在很多有用的问题中，比如在棋类游戏中，查找一个棋子的移动范围等等。

实现方法

递归算法

一个最简单的方法是使用递归。我们从棋盘的第一行开始放置皇后。当我们放置第i个皇后时，我们检查它是否与之前的皇后冲突。如果它与之前的任何一个皇后不冲突，我们就继续放置下一个皇后。

如果放置第N个皇后后，没有任何皇后被攻击，我们就找到了一个解。否则，我们需要回溯并尝试使用下一个可能的位置放置皇后。

下面是使用递归算法解决N皇后问题的示例代码：

def n_queens(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: List[List[str]]
    """
    def backtrack(board, row):
        if row == n:
            # All queens are successfully placed.
            ans.append(["".join(r) for r in board])
            return

        for col in range(n):
            if not is_valid(board, row, col):
                continue

            board[row][col] = "Q"
            backtrack(board, row+1)
            board[row][col] = "."

    def is_valid(board, row, col):
        n = len(board)
        for i in range(n):
            if board[i][col] == "Q":
                return False
            if row-i >= 0 and col-i >= 0 and board[row-i][col-i] == "Q":
                return False
            if row-i >= 0 and col+i < n and board[row-i][col+i] == "Q":
                return False
        return True

    ans = []
    board = [["."]*n for _ in range(n)]
    backtrack(board, 0)
    return ans

回溯算法

回溯算法也是解决N皇后问题的常用方法之一。回溯算法通过枚举所有可能的解，然后对不符合条件的解进行回溯。

在N皇后问题中，可以使用回溯算法来实现。我们从第一行开始，在每个位置上放置一个皇后。然后，我们在下一行中找到一个安全的位置并放置下一个皇后。如果在任何位置上无法找到一个安全的位置，则我们必须回溯到前一行并尝试下一个位置。我们重复这个过程，直到我们找到了一组满足条件的解或者我们检查了所有可能的解。

下面是使用回溯算法解决N皇后问题的示例代码：

def n_queens(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: List[List[str]]
    """
    def backtrack(board, row):
        if row == n:
            # All queens are successfully placed.
            ans.append(["".join(r) for r in board])
            return

        for col in range(n):
            if is_valid(board, row, col):
                board[row][col] = "Q"
                backtrack(board, row+1)
                board[row][col] = "."

    def is_valid(board, row, col):
        n = len(board)
        for i in range(n):
            if board[i][col] == "Q":
                return False
            if row-i >= 0 and col-i >= 0 and board[row-i][col-i] == "Q":
                return False
            if row-i >= 0 and col+i < n and board[row-i][col+i] == "Q":
                return False
        return True

    ans = []
    board = [["."]*n for _ in range(n)]
    backtrack(board, 0)
    return ans

示例说明

示例1

假设我们要在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，我们可以使用下面的代码来获取所有的解。

n_queens(8)

该代码将返回一个列表，其中包含所有8皇后问题的解，并每个解由一个字符串列表表示。例如，[[‘Q…….’, ‘..Q….’, ……], [‘.Q…..’, ‘…Q….’, ……], ……]

示例2

假设我们要在一个4×4的棋盘上放置4个皇后，我们可以使用下面的代码来获取所有的解。

n_queens(4)

该代码将返回一个列表，其中包含所有4皇后问题的解，并每个解由一个字符串列表表示。例如，[[‘.Q..’, ‘…Q.’, ‘Q….’, ‘..Q.’], [‘..Q.’, ‘Q….’, ‘…Q.’, ‘.Q..’]]

结论

通过上述示例，我们可以看到如何实现N皇后问题和如何使用递归算法和回溯算法来解决这个问题。N皇后问题也可以帮助我们理解其他一些需要组合和递归的问题。

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