在Python中，可以使用numpy库来处理多维数组，并使用scipy库中的special模块来进行Legendre级数评估。下面是对多维数组中的点x进行Legendre级数评估的完整攻略：
1. 导入相关库
首先需要导入numpy库和scipy库：
import numpy as np
from scipy.special import lpmn, lpmv
其中，lpmn函数用于计算所有正整数阶和所有次数的Legendre函数系数，lpmv函数用于计算指定次数和指定点的Legendre函数的值。
2. 准备数据
假设我们有一个二维数组x，它的形状为(n, 2)，表示n个二维坐标点。我们需要对每个点进行Legendre级数评估。
为了方便，我们这里先生成一个例子的二维数组x：
n = 5
x = np.random.rand(n, 2)
生成的x数组形状为(5, 2)，内容类似于下面的数组：
array([[0.88643825, 0.68158026],
[0.44484422, 0.33813103],
[0.45037212, 0.69887026],
[0.6817902 , 0.18886599],
[0.38083676, 0.56330995]])
3. 计算Legendre系数
我们需要先计算Legendre系数，这里可以使用lpmn函数来计算。例如，要计算所有正整数阶和所有次数的Legendre函数系数，可以这样做：
lmax = 5
P, _ = lpmn(lmax, lmax, x[:, 1])
其中，lmax表示最大的阶数（次数），x[:, 1]表示取出x数组中所有行的第二列作为参数（因为Legendre函数只与极角有关）。
计算完后，P数组的形状为(lmax+1, lmax+1, n)，其中第一维和第二维对应的是Legendre函数的阶数和次数，第三维对应的是x数组中的坐标点。
4. 计算Legendre函数值
接下来，根据需要计算的Legendre函数的阶数和指定点，可以使用lpmv函数来计算每个坐标点上的Legendre函数值。例如，要计算阶数为2、指定点为第一个坐标点的Legendre函数值，可以这样做：
l = 2
P_0_l = lpmv(l, l, x[0, 1])
其中，x[0, 1]表示取出x数组中第一个坐标点的第二列作为参数，P_0_l即为计算所得的Legendre函数值。
5. 示例与说明
下面给出两个示例来进一步说明如何对多维数组中的点x进行Legendre级数评估。
示例1：计算Laplacian
假设我们要计算一个神经网络的Laplacian，在二维平面上对一个像素点的Laplace值可以表示为：
$$\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}$$
这个式子可以用Legendre级数来表示：
$$\Delta f(x,y) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} a_{l,m} \frac{\partial^2}{\partial r^2}P_l^m(\cos\theta)$$
其中，$a_{l,m}$表示信号在Legendre基函数上的系数，$r$和$\theta$分别表示极坐标系中的半径和极角。
现在，我们假设已经求出了所有$L_{l,m}=\frac{\partial}{\partial r}P_l^m(\cos\theta)$，我们要计算的是一个二元函数$f(x,y)$在$(x,y)=(0,0)$处的Laplace值。具体而言，我们先将$(x,y)$转为极坐标$(r,\theta)$，然后计算出对应的Legendre函数系数$a_{l,m}$，并根据Legendre级数公式计算出$\Delta f(x,y)$。代码如下：
def laplacian(f, x, y):
# 将坐标转换为极坐标系
r = np.sqrt(x**2 + y**2)
theta = np.arctan2(y, x)
# 计算所有的Legendre函数系数
lmax = 10
P, _ = lpmn(lmax, lmax, np.cos(theta))
a = np.zeros((lmax+1, lmax+1))
for l in range(lmax+1):
for m in range(-l, l+1):
a[l, m] = np.sum(f*r**2*P[l, abs(m)]*m*(m-1))
# 计算Laplace值
lap = 0
for l in range(lmax+1):
for m in range(-l, l+1):
lap += a[l, m] * l*(l+1)*P[l, abs(m)]
return lap
注意，这里的Legendre函数使用的是球谐函数的笛卡尔形式，因此计算Laplace值时只需要考虑$m\leq0$的情况。
示例2：计算球面上的温度分布
假设我们要计算一个球体上的温度分布，假设球体半径为1，温度分布被表示为：
$$T(\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} T_{l,m} Y_l^m(\theta,\phi)$$
其中，$T_{l,m}$表示与$Y_l^m(\theta,\phi)$对应的系数。
现在，我们要计算球体表面在$(\theta,\phi)=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4})$处的温度。具体而言，我们先将$(\theta,\phi)$转为直角坐标$(x,y,z)$，然后计算出对应的Legendre函数系数$T_{l,m}$，并根据公式计算出$T(\theta,\phi)$。代码如下：
def spherical_temp(T, theta, phi):
# 将坐标转换为直角坐标系
x = np.sin(theta)*np.cos(phi)
y = np.sin(theta)*np.sin(phi)
z = np.cos(theta)
# 计算所有的Legendre函数系数
lmax = 10
P, _ = lpmn(lmax, lmax, z)
Y = np.zeros((lmax+1)**2, dtype=complex)
for i, (l, m) in enumerate(lm_pairs(lmax)):
Y[i] = spherical_harmonic(l, m, theta, phi)
T_lm = np.linalg.lstsq(Y.reshape((lmax+1)**2, 1), T.reshape(-1, 1), rcond=None)[0]
# 计算温度
temp = 0
for i, (l, m) in enumerate(lm_pairs(lmax)):
temp += T_lm[i, 0]*Y[i]
return temp.real
这里的spherical_harmonic函数使用的是球谐函数的极坐标形式，因此需要将其转为直角坐标系。计算$T_{l,m}$系数时，使用的是最小二乘法，因此需要先将温度分布$T(\theta,\phi)$转为一维数组，然后将$Y_l^m(\theta,\phi)$转为(lmax+1)^2维数组，再使用lstsq函数进行最小二乘求解。在计算温度的时候，只需要计算对应系数和$Y_l^m$的乘积即可。
以上就是在Python中对多维数组中的点x进行Legendre级数评估的完整攻略。