贪心算法详解

什么是贪心算法？

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种算法思想，贪心算法的主要思想是“贪心”，即总是做当前情况下最有利的选择，以期望最终能获得全局最优解。

贪心算法的概念特点

1. 贪心选择性质：贪心算法所解决的问题都具有贪心选择性质，即全局最优解可以通过一系列局部最优解的组合得到。

2. 最优子结构性质：问题的最优解可以通过子问题的最优解推导得出。

3. 贪心策略：贪心算法不同的问题需要使用不同的贪心策略，一般使用贪心策略，需要满足局部最优解和全局最优解的一致性。

贪心算法的使用场景

贪心算法主要应用在一些最优化问题中，比如：找零钱问题、单源最短路径问题、背包问题、切割问题、活动安排问题等。

贪心算法有哪些步骤？

1. 建立数学模型来描述问题。

2. 把求解的问题分成若干个子问题。

3. 对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解。

4. 把子问题的局部最优解合成原来问题的一个解。

贪心算法示例

示例一：找零钱问题

假设有100元、50元、10元、5元和1元面值的纸币，现在要将n元钞票兑换成纸币，如何使得兑换的纸币张数最少？

使用贪心算法的思路是：每次优先选择面值最大的纸币，直到剩余的面值小于等于当前纸币面值，然后再选择次大的纸币。

例如：n = 236，使用贪心算法的方式找零钱的过程如下：

1. 用面值100的纸币，找零（236 – 100 = 136）。

2. 用面值100的纸币，不符合条件，使用面值50的纸币，找零（136 – 50 = 86）。

3. 用面值50的纸币，不符合条件，使用面值10的纸币，找零（86 – 10*8 = 6）。

4. 用面值10的纸币，不符合条件，使用面值5的纸币，找零（6 – 5 = 1）。

5. 用面值5的纸币，不符合条件，使用面值1的纸币，找零（1 – 1 = 0）。

算法执行的过程中，需要求得纸币的张数。我们统计一下，使用100元纸币1张、50元纸币1张、10元纸币8张、5元纸币1张、1元纸币1张，共计12张纸币。

示例二：背包问题

假设有一个容量为C的背包和n个物品，其中每个物品的价值和体积不同，如何能够在背包容量固定的情况下，尽量多地放入物品？

使用贪心算法的思路是：每次优先选择单位体积价值最高的物品，直到背包没有空间为止。

我们需要将每个物品的单位体积价值计算出来，即 V / W。假设有n个物品，分别表示为{V1, V2, …, Vn}和{W1, W2, …, Wn}，则它们的单位体积价值为{V1/W1, V2/W2, …, Vn/Wn}。按照单位体积价值从大到小进行排序，然后依次选择，直到背包没有剩余空间为止。

算法执行的过程中，需要计算放入背包中的物品的总价值。思路是：对于每个物品，如果它被放入了背包中，则将背包的剩余容量相应地减少，为了明确表示选择状态，我们使用一个bool类型的数组来标记每个物品是否被放入了背包中。

总结

贪心算法是一种常用的算法思想，它以最优解为目标，局部最优解的选择累加起来后可以得到全局最优解。贪心算法解决问题的过程简单，需要转化为模型，设计贪心策略，然后进行求解。贪心算法适用于求解一些最优化问题，比如找零钱问题、背包问题、切割问题等。