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用Python生成具有给定复数根的Legendre级数

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我们首先需要导入需要的库：numpy和sympy。

import numpy as np
import sympy as sp

然后我们定义一个函数，用于生成具有给定复数根的Legendre级数。

def get_legendre_series(z_roots, max_degree):

    # 计算复根的数量
    num_roots = len(z_roots)

    # 初始化级数数组
    legendre_series = np.zeros((max_degree+1,num_roots), dtype='complex')

    # 循环遍历每个根，并生成对应的多项式
    for i in range(num_roots):
        poly = [1]

        # 通过根的共轭得到多项式系数
        for j in range(num_roots):
            if j == i:
                continue
            poly = np.convolve(poly, [1,-np.conj(z_roots[j])])

        # 根据最高次确定级数的维度
        degree = max_degree
        while np.abs(np.polyval(poly, z_roots[i])) < 1e-6:
            degree -= 1
        legendre_series[degree:,i] = np.polyval(poly, z_roots[i])

    return legendre_series

可以看到，这个函数接受两个输入参数，一个是复数根的列表，一个是级数的最大次数。函数返回一个 numpy 数组，存储有所有复数根的 Legendre 级数。

接下来，我们提供两个示例展示如何使用这个函数，第一个示例是用于生成以 $z_1=i$ 和 $z_2=-i$ 为根的 Legendre 级数。

# 定义复数根
z_roots = [1j, -1j]

# 定义级数次数
max_degree = 10

# 生成级数
legendre_series = get_legendre_series(z_roots, max_degree)

# 输出结果
for i in range(len(z_roots)):
    print("Legendre series for root z{} = {}: ".format(i+1, z_roots[i]))
    print('\n'.join(['{:8.2f}{:8.2f}j'.format(x.real, x.imag) for x in legendre_series[:,i]]))
    print()

第二个示例用于生成任意 $n$ 阶 Celerier 多项式。

# 定义复数根
z_roots = np.exp(2j*np.pi*np.arange(1,n+1)/(n+1))

# 定义级数次数
max_degree = n

# 生成级数
legendre_series = get_legendre_series(z_roots, max_degree)

# 输出结果
for i in range(n):
    print("Celerier series for root z{} = {}: ".format(i+1, z_roots[i]))
    print('\n'.join(['{:8.2f}{:8.2f}j'.format(x.real, x.imag) for x in legendre_series[:,i]]))
    print()

以上是用Python生成具有给定复数根的Legendre级数的完整攻略。

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