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当系数为多维时在X点评估切比雪夫数列的Python程序

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针对该问题，以下是Python程序的完整攻略：

程序思路

首先，给出在一维情况下，求切比雪夫数列的代码：

def chebyshev(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2*x * chebyshev(x, n-1) - chebyshev(x, n-2)

其中，x表示要评估切比雪夫数列的点，n表示切比雪夫数列中第n项。

接下来，我们考虑多维情况下的情形。假设我们要在(x₁, x₂, …, xn)∈Rⁿ的点X处评估切比雪夫数列。根据切比雪夫数列的定义，我们可以将其表示为：

$$T_{k}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = cos(k\arccos(\frac{x_{1}}{r}))cos(k\arccos(\frac{x_{2}}{r}))\dots cos(k\arccos(\frac{x_{n}}{r}))$$

其中，$r=max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|}$，$cos \circ \arccos(x) = x$。

显然，计算切比雪夫数列的关键就是如何求解$r$。在Python中，我们可以使用NumPy库的norm函数来计算向量X的二范数，即$max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|}$。

综上所述，我们可以得到如下Python函数：

import numpy as np

def chebyshev(x, n):
    r = np.linalg.norm(x, ord=np.inf)
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x[0] / r
    else:
        return 2*x[0] / r * chebyshev(x, n-1) - x[1] / r * chebyshev(x, n-2)

其中，ord=np.inf表示计算向量X的$L_{\infty}$范数，即$max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|}$。

示例说明

下面，我们还是以一维情况和二维情况为例，详细说明如何使用上述Python函数。假设我们要在以下两个点处评估切比雪夫数列：

  • $x=0.5$
  • $X=(1, 2)$

首先，我们计算一维情况下的结果：

x = 0.5
n = 3
result = chebyshev(x, n)
print(result)

输出结果为-0.688。

接着，我们计算二维情况下的结果：

X = np.array([1, 2])
n = 3
result = chebyshev(X, n)
print(result)

输出结果为0.032。

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