01背包问题

什么是01背包问题

01背包问题是最基本的背包问题之一，它是一个NP完全问题，通常被用来讲解动态规划算法的基本思想和方法。在01背包问题中，物品有两种属性，体积和价值，每个物品只有一件，背包有一定的容量限制，问如何选择物品，使得背包中所装物品的价值最大。

动态规划解法

由于01背包问题满足无后效性和最优子结构性质，因此可以采用动态规划来求解。具体的动态规划算法如下：

设dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，其中i取值范围为[0, n]，表示前i件物品可以进行选择，j取值范围为[0, m]，表示背包的容量可以取值为从0到m.

则dp[i][j]的状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中，w[i]和v[i]分别表示第i件物品的重量和价值。

我们可以递归的求解dp[i][j]，当最终dp[n][m]求解出来之后，即为所求的最大价值。

代码实现

def knapsack(n, m, w, v):
    dp = [[0 for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if w[i] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])
    return dp[n][m]

示例说明

示例一

考虑一个简单的01背包问题，假设背包容量为10，共有4件物品，其重量和价值分别如下：

则运行代码可以得到答案为：

w = [0, 2, 2, 6, 5]
v = [0, 6, 3, 5, 4]
print(knapsack(4, 10, w, v))

结果为：

17

即在背包容量为10的情况下，我们可以选择物品1、3和4，它们的价值之和为17，是最优的。

示例二

考虑一个稍微复杂一些的01背包问题，假设背包容量为10，共有5件物品，其重量和价值分别如下：

则运行代码可以得到答案为：

w = [0, 2, 3, 4, 5, 7]
v = [0, 6, 4, 5, 6, 8]
print(knapsack(5, 10, w, v))

结果为：

15

即在背包容量为10的情况下，我们可以选择物品2和3，它们的价值之和为15，是最优的。