评估一个3-D切比雪夫级数可通过计算该级数在x、y和z方向上的系数并将它们相乘得到。
首先，让我们考虑一个简单的2-D切比雪夫级数，该级数的基函数为：
$$
T_n(x) = \cos(n \arccos(x))
$$
其中，$n$为正整数，$x\in[-1, 1]$。根据三角函数的和差公式，我们有：
$$
T_n(x) T_m(y) = \frac{1}{2} [T_{n+m}(xy) + T_{|n-m|}(xy)]
$$
其中，$m$为正整数，$y\in[-1, 1]$。这意味着，将两个2-D切比雪夫级数相乘可以表示为两个1-D级数之和。
因此，将这个结果推广到3-D切比雪夫级数中，我们可以得到：
$$
T_n(x)T_m(y)T_k(z) = \frac{1}{4} \sum_{i=0}^{n+m+k} (-1)^i \binom{n+m+k}{i} T_{n+m+k-2i}(x y z)
$$
其中，$n,m,k$为正整数，$x,y,z\in[-1,1]$。这个公式说明了在三个不同的方向上，级数系数之间的乘积是如何计算的。具体地说，这个公式展示了3-D切比雪夫级数的向量空间的基函数形式为：
$$
T_{n,m,k}(x,y,z) = T_n(x)T_m(y)T_k(z)
$$
因此，我们可以通过计算每个方向上的系数并将它们相乘来评估3-D切比雪夫级数。
例如，假设我们想要评估一个3-D切比雪夫级数，其系数为$2d$阵列。我们可以这样做：
首先，在$x$方向上计算系数：${c_n}$，其中$n=0,1,2,…,N-1$。这里，我们将$N$选为$2d$，以匹配数组的大小。
然后，在$y$方向上计算系数：${d_m}$，其中$m=0,1,2,…,M-1$。同样地，我们将$M$选为$2d$。
最后，在$z$方向上计算系数：${e_k}$，其中$k=0,1,2,…,K-1$。我们同样将$K$选为$2d$。
然后，我们将这些系数相乘并求和，得到整个3-D切比雪夫级数的系数：
$$
\sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{k=0}^{K-1} c_n d_m e_k T_{n,m,k}(x,y,z)
$$
这就是评估3-D切比雪夫级数的完整攻略，其中我们需要计算每个方向上的系数，并将它们相乘。下面是两个示例说明。
1.示例1
假设我们要评估一个系数为$2d$的3-D切比雪夫级数：
$$
f(x,y,z) = \sum_{n=0}^{2d-1} \sum_{m=0}^{2d-1} \sum_{k=0}^{2d-1} c_n d_m e_k T_{n,m,k}(x,y,z)
$$
其中，$c_n$, $d_m$和$e_k$分别为在$x$，$y$和$z$方向上的系数。假设我们已经计算出了这些系数，分别为${c_0,c_1,…,c_{2d-1}}$、${d_0,d_1,…,d_{2d-1}}$和${e_0,e_1,…,e_{2d-1}}$。那么，我们可以通过以下代码计算出3-D切比雪夫级数：
import numpy as np
# 计算系数
c = np.cos(np.pi*np.arange(2*d)/(2*d))
d = np.cos(np.pi*np.arange(2*d)/(2*d))
e = np.cos(np.pi*np.arange(2*d)/(2*d))
# 定义x,y,z
x,y,z = np.meshgrid(np.linspace(-1,1,50),np.linspace(-1,1,50),np.linspace(-1,1,50))
# 计算3-D切比雪夫级数
f = np.sum([c[n]*d[m]*e[k]*np.cos(n*np.arccos(x))*np.cos(m*np.arccos(y))*np.cos(k*np.arccos(z)) for n in range(2*d) for m in range(2*d) for k in range(2*d)], axis=0)
2.示例2
假设我们要评估一个系数为$4d$的3-D切比雪夫级数：
$$
f(x,y,z) = \sum_{n=0}^{4d-1} \sum_{m=0}^{4d-1} \sum_{k=0}^{4d-1} c_n d_m e_k T_{n,m,k}(x,y,z)
$$
其中，$c_n$, $d_m$和$e_k$分别为在$x$，$y$和$z$方向上的系数。这里，我们以$4d$为系数的大小，示例1中大小为$2d$。
在这个示例中，我们可以使用scipy库中的chebval3d函数来计算3-D切比雪夫级数，如下所示：
from scipy.special import chebval3d
# 计算系数
c = np.cos(np.pi*np.arange(4*d)/(4*d))
d = np.cos(np.pi*np.arange(4*d)/(4*d))
e = np.cos(np.pi*np.arange(4*d)/(4*d))
# 定义x,y,z
x,y,z = np.meshgrid(np.linspace(-1,1,50),np.linspace(-1,1,50),np.linspace(-1,1,50))
# 计算3-D切比雪夫级数
f = chebval3d(x,y,z,np.array([c,d,e]), tensor=False)
这是评估3-D切比雪夫级数的另一个示例，我们使用了scipy库中的chebval3d函数。