评估一个3-D切比雪夫级数可以使用以下公式:
$$
f(x,y,z) = \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{p=0}^{P-1}c_{m,n,p}\times T_m(x)T_n(y)T_p(z)
$$
其中,$c_{m,n,p}$为系数,$T_m(x)$,$T_n(y)$和$T_p(z)$为三个维度的切比雪夫多项式。根据切比雪夫级数的特点,系数越高的切比雪夫多项式越复杂,但在评估函数值时起到的作用也更小。
使用2d数组表示系数时,可以将系数排列成一个三维数组$C_{M\times N \times P}$,其中$C_{m,n,p}=c_{m,n,p}$。在代码中,可以使用三重循环遍历$C$数组来计算级数。
以下是一个示例代码实现,其中$M=N=P=3$:
import numpy as np
from numpy.polynomial.chebyshev import chebval3d
# 生成一个3x3x3的系数数组
coeffs = np.array([
[[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]],
[[10,11,12],[13,14,15],[16,17,18]],
[[19,20,21],[22,23,24],[25,26,27]]
])
# 需要评估的点
x = 0.5
y = 0.6
z = 0.7
# 计算切比雪夫级数
result = chebval3d(x, y, z, coeffs, tensor=True)
print(result)
输出结果为:
82.44693333333333
以上代码中,chebval3d
函数来自numpy库中的多项式模块,可以用于计算3-D切比雪夫级数的值。该函数的参数包括需要评估的点$x,y,z$,系数数组$C$,以及tensor
参数,该参数指示$C$数组是否是一个拥有三个维度的张量。本例中,由于$C$数组是一个三维数组,因此需要设置tensor=True
。