要对具有多维系数的切比雪夫级数进行微分，需要先了解切比雪夫多项式和切比雪夫级数的基本概念。
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是由数学家切比雪夫提出的一种特殊的多项式。它可以表示为：
$$T_n(x) = \cos(n\arccos{x})$$
其中 $n$ 表示多项式的阶数，$x$ 表示自变量。
切比雪夫级数
切比雪夫级数是指将一个函数用切比雪夫多项式展开的级数。具体地，对于一个定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)$，它的切比雪夫级数表示为：
$$f(x) \approx \sum_{n=0}^{\infty} a_n T_n(x)$$
其中系数 $a_n$ 可以通过以下公式求得：
$$a_k = \frac{2}{\pi} \int _{-1}^{1} \frac{f(x) T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$$
切比雪夫级数的微分
对于一个切比雪夫级数，我们可以对其进行微分。具体地，设 $f(x)$ 的切比雪夫级数为：
$$f(x) \approx \sum_{n=0}^{\infty} a_n T_n(x)$$
则它的一阶导数为：
$$f'(x) \approx \sum_{n=0}^{\infty} a_n T’_n(x)$$
其中 $T’_n(x)$ 表示切比雪夫多项式的一阶导数。切比雪夫多项式的一阶导数可以表示为：
$$T’n(x) = nU{n-1}(x)$$
其中 $U_n(x)$ 表示第二类切比雪夫多项式。因此，我们可以将 $f'(x)$ 表示为：
$$f'(x) \approx \sum_{n=0}^{\infty} a_n nU_{n-1}(x)$$
系数 $a_n$ 可以通过切比雪夫级数的求解公式求得。
接下来以两个例子说明如何在Python中对具有多维系数的切比雪夫级数进行微分。
示例一：只存在一维系数的情况
假设我们要对函数 $f(x) = x^3$ 在区间 $[-1,1]$ 上的切比雪夫级数进行微分，我们可以使用Sympy库进行求解。
首先，我们需要导入Sympy库：
import sympy as sp
然后，我们定义函数 $f(x)$ 和自变量 $x$：
x = sp.symbols('x')
f = x**3
接下来，我们定义切比雪夫系数 $a_n$ 和切比雪夫多项式 $T_n(x)$：
n = sp.symbols('n')
a_n = (2 / sp.pi) * sp.integrate(f * sp.cos(n * sp.acos(x)) / sp.sqrt(1 - x**2), (x, -1, 1))
T_n = sp.cos(n * sp.acos(x))
注意到这里的 $T_n(x)$ 直接使用了Sympy库中提供的切比雪夫多项式的定义。
然后，我们求解切比雪夫级数：
N = 10 # 指定级数截断值
S = 0 # 切比雪夫级数
for i in range(N + 1):
S += a_n.subs(n, i) * T_n.subs(n, i)
最后，我们求解 $f'(x)$ 的切比雪夫级数：
S_diff = 0 # 切比雪夫级数的导数
for i in range(1, N + 1):
S_diff += i * a_n.subs(n, i) * sp.sin(i * sp.acos(x)) / sp.sqrt(1 - x**2)
这里的 $T’n(x)$ 直接使用了切比雪夫多项式的一阶导数的定义。$f'(x)$ 的切比雪夫级数即为 $S{diff}$。
完整代码如下：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3
n = sp.symbols('n')
a_n = (2 / sp.pi) * sp.integrate(f * sp.cos(n * sp.acos(x)) / sp.sqrt(1 - x**2), (x, -1, 1))
T_n = sp.cos(n * sp.acos(x))
N = 10 # 指定级数截断值
S = 0 # 切比雪夫级数
for i in range(N + 1):
S += a_n.subs(n, i) * T_n.subs(n, i)
S_diff = 0 # 切比雪夫级数的导数
for i in range(1, N + 1):
S_diff += i * a_n.subs(n, i) * sp.sin(i * sp.acos(x)) / sp.sqrt(1 - x**2)
示例二：存在多维系数的情况
假设我们要对函数 $f(x, y) = x^2y$ 在区间 $[-1,1]\times[-1,1]$ 上的切比雪夫级数进行微分，我们同样可以使用Sympy库进行求解。
首先，我们需要导入Sympy库：
import sympy as sp
然后，我们定义函数 $f(x, y)$ 和自变量 $x, y$：
x, y = sp.symbols('x y')
f = x**2 * y
接下来，我们定义切比雪夫系数 $a_{n,m}$ 和切比雪夫多项式 $T_n(x)$、$T_m(y)$：
n, m = sp.symbols('n m')
a_nm = (4 / (sp.pi**2)) * sp.integrate(sp.integrate(f * sp.cos(n * sp.acos(x)) * sp.cos(m * sp.acos(y)) / sp.sqrt(1 - x**2) / sp.sqrt(1 - y**2), (x, -1, 1)), (y, -1, 1))
T_n = sp.cos(n * sp.acos(x))
T_m = sp.cos(m * sp.acos(y))
注意到这里计算 $a_{n,m}$ 时需要使用多重积分。
然后，我们求解切比雪夫级数：
N, M = 3, 5 # 指定级数截断值
S = 0 # 切比雪夫级数
for i in range(N + 1):
for j in range(M + 1):
S += a_nm.subs(n, i).subs(m, j) * T_n.subs(n, i) * T_m.subs(m, j)
最后，我们求解 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 的切比雪夫级数和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 的切比雪夫级数：
S_x = 0 # 切比雪夫级数的偏导数（关于 x）
for i in range(1, N + 1):
for j in range(M + 1):
S_x += i * a_nm.subs(n, i).subs(m, j) * sp.sin(i * sp.acos(x)) * T_m.subs(m, j) / sp.sqrt(1 - x**2) / sp.sqrt(1 - y**2)
S_y = 0 # 切比雪夫级数的偏导数（关于 y）
for i in range(N + 1):
for j in range(1, M + 1):
S_y += j * a_nm.subs(n, i).subs(m, j) * sp.sin(j * sp.acos(y)) * T_n.subs(n, i) / sp.sqrt(1 - x**2) / sp.sqrt(1 - y**2)
这里的 $T’_n(x)$ 和 $T’_m(y)$ 直接使用了切比雪夫多项式的一阶导数的定义。$\frac{\partial f}{\partial x}$ 的切比雪夫级数即为 $S_x$，$\frac{\partial f}{\partial y}$ 的切比雪夫级数即为 $S_y$。
完整代码如下：
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y')
f = x**2 * y
n, m = sp.symbols('n m')
a_nm = (4 / (sp.pi**2)) * sp.integrate(sp.integrate(f * sp.cos(n * sp.acos(x)) * sp.cos(m * sp.acos(y)) / sp.sqrt(1 - x**2) / sp.sqrt(1 - y**2), (x, -1, 1)), (y, -1, 1))
T_n = sp.cos(n * sp.acos(x))
T_m = sp.cos(m * sp.acos(y))
N, M = 3, 5 # 指定级数截断值
S = 0 # 切比雪夫级数
for i in range(N + 1):
for j in range(M + 1):
S += a_nm.subs(n, i).subs(m, j) * T_n.subs(n, i) * T_m.subs(m, j)
S_x = 0 # 切比雪夫级数的偏导数（关于 x）
for i in range(1, N + 1):
for j in range(M + 1):
S_x += i * a_nm.subs(n, i).subs(m, j) * sp.sin(i * sp.acos(x)) * T_m.subs(m, j) / sp.sqrt(1 - x**2) / sp.sqrt(1 - y**2)
S_y = 0 # 切比雪夫级数的偏导数（关于 y）
for i in range(N + 1):
for j in range(1, M + 1):
S_y += j * a_nm.subs(n, i).subs(m, j) * sp.sin(j * sp.acos(y)) * T_n.subs(n, i) / sp.sqrt(1 - x**2) / sp.sqrt(1 - y**2)