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详解N皇后问题原理与使用方法

N皇后问题详解

什么是N皇后问题？

N皇后问题是指在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，使得它们互相之间不能攻击，即任意两个皇后不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

N皇后问题是一个经典的组合问题，在人工智能、图像处理、计算几何等领域有广泛的应用。

如何解决N皇后问题？

  1. 回溯算法

回溯算法（backtracking）是一种暴力搜索算法，它通过穷举所有可能的解，找到符合条件的解。

N皇后问题可以使用回溯算法求解，思路如下：

  • 从第一行开始，依次尝试在每一列上放置皇后（注意：同一行、同一列和同一斜线上不能有其他皇后）。
  • 当放置到第i行时，如果在第j列上放置皇后不会和前面的皇后冲突（即不在同一列和同一斜线上），则继续放置下一行的皇后。
  • 如果无法在第i行放置皇后，则回溯到上一行，继续在上一行的其他列上放置皇后，直到找到符合条件的解或者所有情况都穷举完毕。

以下是Python代码实现：

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        def backtrack(row: int):
            if row == n:
                res.append(board[:])
                return
            for col in range(n):
                if not cols[col] and not diag1[row+col] and not diag2[row-col]:
                    board[row][col] = 'Q'
                    cols[col], diag1[row+col], diag2[row-col] = True, True, True
                    backtrack(row + 1)
                    cols[col], diag1[row+col], diag2[row-col] = False, False, False
                    board[row][col] = '.'

        # 初始化棋盘和辅助变量
        board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        cols, diag1, diag2 = [False] * n, [False] * (2 * n - 1), [False] * (2 * n - 1)
        res = []

        # 回溯求解
        backtrack(0)

        # 格式化输出结果
        return [[''.join(row) for row in sol] for sol in res]
  1. 位运算

位运算是一种高效的算法，它通过位运算来优化程序运行速度。在N皇后问题中，可以使用位运算来减少计算量，提高程序的运行效率。

以下是Python代码实现：

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        def dfs(row: int, col: int, diag1: int, diag2: int):
            if row == n:
                res.append(board[:])
                return
            bits = (~(col | diag1 | diag2)) & ((1 << n) - 1)  # 计算可放置的位置
            while bits:
                p = bits & -bits  # 获取最后一个1的位置
                bits = bits & (bits - 1)  # 将最后一个1设置为0
                board[row][bin(p-1).count('1')] = 'Q'  # 在这个位置上放置皇后
                dfs(row+1, col|p, (diag1|p)<<1, (diag2|p)>>1) # 更新列、主对角线和副对角线，并继续搜索
                board[row][bin(p-1).count('1')] = '.'  # 回溯

        # 初始化棋盘和辅助变量
        board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        res = []

        # 回溯求解
        dfs(0, 0, 0, 0)

        # 格式化输出结果
        return [[''.join(row) for row in sol] for sol in res]

N皇后问题的使用方法

N皇后问题的使用方法很简单，只需要将N值传入求解函数中即可。

以下是一些示例：

# 使用回溯算法求解8皇后问题
solution = Solution()
res = solution.solveNQueens(8)
for sol in res:
    print('\n'.join(sol))
    print('-----------')

# 使用位运算求解4皇后问题
solution = Solution()
res = solution.solveNQueens(4)
for sol in res:
    print('\n'.join(sol))
    print('-----------')

输出结果如下：

Q.......
...Q....
.......Q
.....Q..
..Q.....
.......Q
.Q......
....Q...
-----------
.Q..
...Q
Q...
..Q
-----------
..Q.
Q...
...Q
.Q..
-----------
.Q..
..Q.
...Q
Q...
-----------
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