在Python中使用NumPy将切比雪夫级数提高到一个幂数，具体步骤如下：
1. 导入NumPy库
使用NumPy库中的函数可以方便地进行数组的运算，因此我们需要首先导入该库。可以使用以下代码导入：
import numpy as np
2. 定义切比雪夫级数
在Python中，我们可以使用lambda函数来定义切比雪夫级数。对于一个幂次为n的级数，定义如下：
f_n = lambda x, n: np.cos(n * np.arccos(x))
其中，x为定义域内的任意点，n为级数的幂次，np.cos和np.arccos分别表示余弦和反余弦函数。
3. 计算切比雪夫级数的系数
计算切比雪夫级数的系数是将级数推展到高一阶的关键所在。可以使用以下代码计算前n项系数：
def cheb_coeffs(n):
"""
计算前n项切比雪夫级数系数
"""
coeffs = np.zeros(n)
for i in range(n):
coeffs[i] = f_n(np.cos(np.pi*(i+0.5)/n), n)
return coeffs
其中，np.zeros(n)为初始化大小为n的全零数组，range(n)表示从0到n-1的整数序列。
4. 计算切比雪夫级数的值
使用以上函数计算出切比雪夫级数的系数后，可以使用以下代码计算定义域内某一点的级数值：
def cheb_sum(x, coeffs):
"""
计算定义域内的某一点的切比雪夫级数值
"""
n = len(coeffs)
s = coeffs[-1]
t0 = 1
t1 = x
for i in range(n-2, -1, -1):
t = 2 * x * t1 - t0
s += coeffs[i] * t
t0 = t1
t1 = t
return s
其中，x为定义域内的任意点，coeffs为步骤3计算的系数。t0、t1、t为中间变量，s为累加结果。
5. 示例说明
下面给出两个使用切比雪夫级数的示例说明。
示例1：计算π的值
可以使用切比雪夫级数对π进行精确计算。π的切比雪夫级数表达式为：
$$
\frac{\pi}{2} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cos(k\theta) \quad \theta\in[0,\pi]
$$
其中$\theta$为变量，我们可以令$x=\cos\theta$，则上式可以转化为：
$$
\frac{\pi}{2} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}f_k(x)
$$
可以定义如下函数计算π的值：
def calculate_pi(n):
"""
计算π的值
"""
coeffs = cheb_coeffs(n)
x = np.cos(np.arange(n) * np.pi / (n - 1))
s = np.sum(np.abs(np.pi / 2 - cheb_sum(x, coeffs))) / n
return s * 2
其中，np.arange(n)表示生成0到n-1的整数序列，np.pi表示π的近似值。
示例2：绘制函数图像
可以使用切比雪夫级数绘制函数的图像。以函数$y=\sqrt{x}$为例，切比雪夫级数为：
$$
\sqrt{x} = \sum_{n=0}^{\infty}a_nT_n(x)
$$
其中$T_n(x)$为第n个切比雪夫多项式，多项式系数可以使用以下代码计算：
def cheb_poly(n):
"""
计算第n个切比雪夫多项式
"""
if n == 0:
return np.ones(1)
if n == 1:
return [1, 0]
else:
x = np.array([2, 0] + [0] * (n - 1), dtype='float')
return np.roll((x * cheb_poly(n - 1) - cheb_poly(n - 2)),1)
注意，该函数的返回结果为一个长度为n+1的数组。
可以使用以下代码绘制函数图像：
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = np.sqrt(x)
plt.plot(x, y, 'r', linewidth=2)
n = 50
coeffs = cheb_coeffs(n)
y1 = cheb_sum(x, coeffs)
plt.plot(x, y1, 'b--', linewidth=2)
plt.legend(('y=sqrt(x)', 'Chebyshev polynomial'))
plt.show()
其中，plt.plot表示绘制折线图，’r’和’b–‘分别表示红色实线和蓝色虚线，plt.legend表示设置图例。