Python 不完全伽马函数

什么是伽马函数?

伽马函数一般被写作 $\Gamma(z)$，是一种积分函数，定义为：

$$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} x^{z-1} e^{-x} dx，\ z \gt 0.$$

伽马函数是阶乘函数的推广，当 $z$ 是正整数的时候有：

$$\Gamma(n+1) = n!，\ n \in \mathbb{Z}^+.$$

不完全伽马函数一般被写作 $\gamma(s,x)$，是对伽马函数的一种推广，定义为：

$$\gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt，\ s \gt 0.$$

注意，不完全伽马函数中的下限为 0，上限为 $x$，而伽马函数的上限为 $\infty$。

不完全伽马函数并没有准确的解析解，只有数值上的近似。在 Python 中，我们可以使用 scipy 库中的 gammainc 函数来计算不完全伽马函数，它的定义为：

gammainc(a, x)

其中，a 是函数中的 $s$，$x$ 是函数中的 $x$，返回值为 $\Gamma(s,x) / \Gamma(s)$。

而不完全伽马函数 $\gamma(s,x)$ 可以通过以下公式计算：

$$\gamma(s,x) = \Gamma(s,x) / \Gamma(s) = \text{gammainc}(s, x)$$

以下是两个示例：

计算 $s=3,x=10$ 时的不完全伽马函数值：

from scipy.special import gammainc

s = 3
x = 10

result = gammainc(s, x)
print(result)

输出结果为：

0.9975273768433652

计算 $s=1.5, x=0.5$ 时的不完全伽马函数值：

from scipy.special import gammainc

s = 1.5
x = 0.5

result = gammainc(s, x)
print(result)

输出结果为：

0.42829858744055364

以上就是 Python 中不完全伽马函数的计算方法了。