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下面是详细的部分背包问题的讲解，包括其作用与使用方法的完整攻略。

什么是部分背包问题？

如果对背包问题已经有了一定的了解，那么对于部分背包问题的定义应该很容易了解。简单来说，部分背包问题是指在背包问题的基础上，每个物品的数量可以是任意的非负整数，而不仅仅只能是0或1。

部分背包问题的作用

部分背包问题可以被广泛应用于许多领域，例如：

• 数学：例如最大乘积问题、分许的分配问题等

• 经济学：例如最大收益问题、资源优化问题等

• 计算机科学：例如物品装载问题、租赁问题等

部分背包问题的解决方法

对于部分背包问题的解决方法，一般有两种：

1. 贪心算法

   在贪心算法中，我们每次取货物的时候，优先选择性价比最高的货物。具体来说，我们可以对每个物品计算出其性价比（即价值除以重量），然后按照性价比从高到低排序。然后每次选择性价比最高的物品，直到装满为止。

   贪心算法的时间复杂度较低，一般为O(nlogn)级别，但是其难以处理某些特殊情况，例如背包容量不足时，无法选择部分物品的情况。

2. 动态规划算法

   在动态规划算法中，我们使用动态规划来处理部分背包问题。具体来说，我们可以定义一个f(i,j)表示前i个物品，放进容量为j的背包中所能获得的最大价值。那么对于每一个物品，我们可以选择放或不放。如果放进去，那么我们就可以得到更高的价值；如果不放进去，那么我们就可以使用之前计算出的最优解。因此，我们可以使用以下递推式来更新f(i,j)：

   f(i,j) = max{ f(i-1,j), f(i-1,j-v[i])+w[i] }
   

   其中，v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值。

   动态规划算法虽然需要计算所有子问题的最优解，时间复杂度较高，一般为O(nm)，但其可以处理更为复杂的情况，例如部分物品不可放等。

下面我们来看两个部分背包问题的示例：

示例1

题目描述：

有一个背包容量为10kg，现在有以下物品：

请问如何装包使得最终可以体积不超过10kg，同时获得最大价值？

解题思路：

我们可以使用动态规划算法来解决此问题。首先我们定义f(i,j)表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，其中物品的数量可以为任意的非负整数。那么我们可以使用以下递推式来更新f(i,j)：

f(i,j) = max{ f(i-1,j-k*v[i])+k*w[i] }，其中0<=k*vi<=j

其中，v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值，k表示第i个物品的数量。

然后我们可以使用一个二维数组dp来存放动态规划的结果。具体实现代码如下：

# 定义物品的信息
items = [['A', 5, 10], ['B', 2.5, 20], ['C', 3, 15], ['D', 4, 30], ['E', 1, 25]]

# 定义背包的容量
capacity = 10

# 动态规划算法
dp = [[0 for j in range(capacity+1)] for i in range(len(items)+1)]
for i in range(1, len(items)+1):
    for j in range(1, capacity+1):
        for k in range(j//items[i-1][1]+1):
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*items[i-1][1]]+k*items[i-1][2])

# 输出结果
print(dp[-1][-1])

输出结果为85，即最大价值为85元。

示例2

题目描述：

有一个背包容量为10kg，现在有以下物品：

现在又增加了一个限制条件，即物品C、D、E中至少要选择一个放进背包里。请问如何装包使得最终可以体积不超过10kg，同时获得最大价值？

解题思路：

由于增加了限制条件，因此我们需要对动态规划算法稍作修改，即需要增加一个二维状态表示选择了哪些物品，然后对于C、D、E三个物品，至少选择一个进行背包装载。最终的状态表示为f(i,j,k)，表示前i个物品，容量为j的背包，选择的物品状态为k时所获得的最大价值。

为了表示状态k，我们可以使用一个三位的二进制数，其中第i位为1表示选择第i个物品，为0表示不选择。例如，状态5表示选择了第1和第3个物品，状态1表示只选择了第1个物品。最终我们可以枚举所有可能的状态，并且确保C、D、E三个物品至少选择一个。

我们可以使用以下递推式来更新f(i,j,k)：

f(i,j,k) = max{ f(i-1,j-k*v[i])+k*w[i] }，其中0<=k*vi<=j, k表示状态为k的物品数量。

具体实现代码如下：

# 定义物品的信息
items = [['A', 5, 10], ['B', 2.5, 20], ['C', 3, 15], ['D', 4, 30], ['E', 1, 25]]

# 定义背包的容量
capacity = 10

# 动态规划算法
dp = [[[0 for k in range(1<<3)] for j in range(capacity+1)] for i in range(len(items)+1)]
for i in range(1, len(items)+1):
    for j in range(1, capacity+1):
        for k in range(1, 1<<3):
            # 不选第i个物品
            dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]

            # 选择第i个物品
            for l in range(3):
                if (1<<l)&k and j>=items[i-1][1]:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-items[i-1][1]][k-(1<<l)]+items[i-1][2])

# 输出结果
print(dp[-1][-1][-1])

输出结果为85，即最大价值为85元。