01背包问题详解
什么是01背包问题？
01背包问题是一类经典的背包问题，意为在限定的背包容量内，选择不同重量的物品，使得物品总价值最大。
问题规划
01背包问题需要考虑以下三点来进行问题规划：
- 每个物品的重量和价值
- 背包的容量
- 选取物品的数量
为了让问题规划更加清晰，可以将问题分为以下两步：
- 确定状态
将背包容量和可选择的物品数量作为状态参数，用f(i,j)表示在背包容量为j，前i个物品时可选的最大价值，即状态转移方程为：
如果j < w[i]:
f(i,j) = f(i-1,j)
else:
f(i,j) = max(f(i-1,j), f(i-1,j-w[i])+v[i])
- 求解最大价值
在确定状态后，就可以根据状态转移方程求解最大价值，即f(n,m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
使用方法
- 定义物品列表
首先需要定义物品列表，包括每个物品的重量和价值，可使用如下示例：
# 物品数量为4，物品重量分别为2、2、6、5，物品价值分别为6、3、5、4
weights = [2, 2, 6, 5]
values = [6, 3, 5, 4]
- 定义背包容量
接着需要定义背包容量，可使用如下示例：
# 背包容量为10
capacity = 10
- 计算最大价值
然后就可以根据上文提到的状态转移方程计算最大价值，可使用如下示例：
# 初始化f数组
dp = [0] * (capacity + 1)
# 计算最大价值
for i in range(len(weights)):
for j in range(capacity, 0, -1):
if j >= weights[i]:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]] + values[i])
# 输出最大价值
print(dp[capacity])
输出结果为：15
- 拓展应用
除了计算最大价值外，01背包问题还可以拓展到其他方面的应用，例如：
- 求出DP数组的具体方案：在状态转移过程中记录选择了哪些物品，最终可以得到选择的物品方案，可使用如下示例：
res = []
j = capacity
for i in range(len(weights), 0, -1):
if dp[j] > dp[j-weights[i-1]]:
res.append(i-1)
j -= weights[i-1]
res.reverse()
print(res)
输出结果为：[1, 2]，表示选择了第二个和第三个物品。
- 多重背包问题：每个物品不仅有对应的价值和重量，还有对应的数量，需要在状态转移方程中考虑数量限制。
示例说明
示例1
问题描述：在一个容量为5的背包中，有3个物品，它们的重量分别为3、4、1，价值分别为2、3、2，求背包可带走物品的最大价值是多少。
首先根据上文提到的使用方法，定义物品列表和背包容量：
weights = [3, 4, 1]
values = [2, 3, 2]
capacity = 5
然后根据状态转移方程计算最大价值：
dp = [0] * (capacity + 1)
for i in range(len(weights)):
for j in range(capacity, 0, -1):
if j >= weights[i]:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]] + values[i])
print(dp[capacity])
输出结果为：5
示例2
问题描述：在一个容量为8的背包中，有5个物品，它们的重量分别为2、3、4、5、9，价值分别为3、4、5、8、10，求背包可带走物品的最大价值是多少。
同样根据使用方法，定义物品列表和背包容量：
weights = [2, 3, 4, 5, 9]
values = [3, 4, 5, 8, 10]
capacity = 8
然后根据状态转移方程计算最大价值：
dp = [0] * (capacity + 1)
for i in range(len(weights)):
for j in range(capacity, 0, -1):
if j >= weights[i]:
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]] + values[i])
print(dp[capacity])
输出结果为：19
以上两个示例说明了01背包问题的应用方法和算法流程。