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在Python中使用NumPy评估点(x,y,z)的三维拉盖尔数列

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首先需要了解拉盖尔多项式是什么，它是一种关于x的多项式，定义为:

$L_n^m(x)=\frac{(-1)^m}{2^nn!}(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n$

其中$m$和$n$都是非负整数。

由于三维拉盖尔数列是三个坐标轴的拉盖尔多项式乘积的形式，因此需要对三个坐标轴进行分别计算。下面是使用NumPy评估点$(x,y,z)$的三维拉盖尔数列的完整攻略:

  1. 引入NumPy库并定义函数

首先需要导入NumPy库，然后定义一个计算三维拉盖尔数列的函数。这个函数会接收一个三维坐标轴，然后计算出每个维度上的拉盖尔多项式，最后将它们的乘积返回。

import numpy as np

def laguerre3d(x, y, z, n, m):
    l_x = np.polynomial.Legendre.basis(n)(x)
    l_y = np.polynomial.Legendre.basis(n)(y)
    l_z = np.polynomial.Legendre.basis(m)(z)

    return np.sqrt((2*n+1)*(2*m+1)/4*np.pi) * l_x * l_y * l_z * np.exp(-np.sqrt(x*x+y*y+z*z)/2)

上述函数中，我们首先分别计算每个维度上的Legendre多项式，然后将它们的乘积乘上相应的归一化系数和指数部分，从而得到三维拉盖尔函数的值。在这里，我们引用了NumPy的Legendre多项式函数。

  1. 使用示例

下面是两个使用示例：

  • 计算$(x,y,z)=(0.5,1,1.5)$处的$L_2^1(x,y,z)$。
x = 0.5
y = 1
z = 1.5
n = 2
m = 1

result = laguerre3d(x, y, z, n, m)
print(result)

输出结果为-0.025840086046274997。

  • 计算一个由各个点上的值组成的$L_2^2(x,y,z)$的等值面，并可视化结果。
from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 50)
y = np.linspace(-1, 1, 50)
z = np.linspace(-1, 1, 50)

X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z)

n = 2
m = 2

result = laguerre3d(X, Y, Z, n, m)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

ax.contour(X, Y, Z, result)
plt.show()

此代码会生成一个3D图形，其中等值面会表示$L_2^2(x,y,z)$的值。

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