部分背包问题（Fractional Knapsack Problem）也叫做分数背包问题，是指：有一个背包，最多能承载物品的重量为W。现在有n个物品，每个物品的重量为$w_i$，价值为$v_i$。要求选出若干件物品放入这个背包中，使得选入背包中的物品总重量不超过W，且让选入的物品的总价值最大。
相比于 01背包 和 完全背包，部分背包问题可以选择一件物品的部分使用。
使用方法：
1.将所有物品按照单位价值（即价值/重量）从大到小排序。
2.依次考虑每个物品，如果该物品重量小于等于背包的剩余容量，就将整个物品放进去；否则，计算能放多少，放入即可。
举例说明：
问题1：假设有一个背包，容量为50kg。现在有如下物品，求最大的价值。
| 序号 | 名称 | 重量(kg) | 价值（元） |
|---|---|---|---|
| 1 | 牛奶 | 10 | 60 |
| 2 | 面包 | 20 | 100 |
| 3 | 鸡蛋 | 30 | 120 |
| 4 | 薯条 | 40 | 160 |
| 5 | 纸巾 | 50 | 200 |
解答：首先，计算每个物品的单位价值。得到如下表格。
| 序号 | 名称 | 重量(kg) | 价值（元） | 单位价值（元/kg） |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 牛奶 | 10 | 60 | 6 |
| 2 | 面包 | 20 | 100 | 5 |
| 3 | 鸡蛋 | 30 | 120 | 4 |
| 4 | 薯条 | 40 | 160 | 4 |
| 5 | 纸巾 | 50 | 200 | 4 |
然后，按照单位价值从大到小排列。得到如下顺序：1，2，3，4，5。
接着，从序号1开始，尽可能多的将物品放入背包中。因为容量为50kg，所以可以放入5kg（即1/2个）的牛奶，剩余40kg。接着考虑物品2，可以放入完整的20kg。剩余20kg。继续，放入3kg（即1/10个）的鸡蛋，剩余17kg。放入8kg（即1/5个）的薯条，剩余9kg。放入剩余的9kg纸巾。至此，背包装满。
因此，最大的价值为601/2+205+301/10+401/5+50=390元。
问题2：假设有一个背包，容量为12kg。现在有如下物品，求最大的价值。
| 名称 | 重量(kg) | 价值（元） |
|---|---|---|
| 牛奶 | 3 | 10 |
| 面包 | 4 | 15 |
| 橙汁 | 2 | 8 |
| 香蕉 | 1 | 5 |
| 雪碧 | 1 | 4 |
| 巧克力 | 6 | 12 |
解答：由于本例背包容量很小，使用 01背包 和 完全背包 不方便，因此使用部分背包问题求解。
首先，计算每个物品的单位价值。得到如下表格。
| 名称 | 重量(kg) | 价值（元） | 单位价值（元/kg） |
|---|---|---|---|
| 牛奶 | 3 | 10 | 3.33 |
| 面包 | 4 | 15 | 3.75 |
| 橙汁 | 2 | 8 | 4 |
| 香蕉 | 1 | 5 | 5 |
| 雪碧 | 1 | 4 | 4 |
| 巧克力 | 6 | 12 | 2 |
然后，按照单位价值从大到小排列。得到如下顺序：4，3，2，1，5，6。
接着，从序号4开始，尽可能多的将物品放入背包中。因为容量为12kg，所以可以放入12kg的香蕉，剩余11kg。继续，放入剩余的1kg雪碧。至此，背包装满。
因此，最大的价值为5*5+4= 29元。
总结：部分背包问题解决了 01背包 和 完全背包 中一些物品仅可选一次或仅可选若干次的限制，得到了更广泛的应用。但是，其贪心算法的策略也仅仅是将每个物品拆分为若干个可选部分，然后用贪心的策略尽可能多的选择单位价值最大的部分放入背包，其并不能得到最优解，因此仍旧有局限性。