当我们想要在Python中对一系列函数进行积分的时候，一种常见的方式是使用NumPy库中的numpy.polynomial.legendre.leggauss函数计算出Legendre-Gauss积分分布和权重，然后利用这些信息对函数进行积分计算。
下面是使用NumPy对0轴上的Legendre系列进行积分的完整攻略。
步骤1：导入必要的库
在开始之前，我们需要先导入一些必要的库，例如NumPy和numpy.polynomial.legendre。具体代码如下：
import numpy as np
from numpy.polynomial.legendre import leggauss
步骤2：定义Legendre函数
接下来，我们需要定义一个Legendre函数，用于计算每个项的值。在这个例子中，我们将使用第n个Legendre多项式作为函数，其中n是项的索引。具体代码如下：
def legendre_n(x, n):
return np.polynomial.legendre.legval(x, [0] * (n - 1) + [1])
在这个函数中，我们将Legendre多项式的系数设置为一个长度为n的列表，其中除了最后一项为1之外，其他所有项都为0。然后我们使用NumPy的numpy.polynomial.legendre.legval函数来计算多项式的值。
步骤3：计算积分分布和权重
接下来，我们需要使用numpy.polynomial.legendre.leggauss函数来计算积分分布和权重。这个函数需要一个整数参数n，用于表示Legendre-Gauss积分的次数。较大的n会产生更准确的结果，但也需要更长的计算时间。
具体代码如下：
n = 20
x, w = leggauss(n)
我们定义了n为20，这意味着我们将使用20个Legendre-Gauss积分点进行积分计算。leggauss函数返回两个数组，一个是积分点，另外一个是权重。
步骤4：计算积分值
现在我们已经准备好计算Legendre系列的积分值了。我们需要计算每个项的积分值，并将它们相加。
具体代码如下：
def legendre_integral(f, n):
x, w = leggauss(n)
integral = 0
for i in range(n):
integral += w[i] * f(x[i], n)
return integral
在这个函数中，我们遍历了每个积分点，并使用w[i]和x[i]为该点的权重和位置。然后，我们将每个项的积分值相加，并返回总积分值。
示例1：在区间[-1, 1]上求解第3项Legendre多项式的积分值
在上述攻略的基础上，我们可以通过以下代码计算第3项Legendre多项式在区间[-1, 1]上的积分值：
integral = legendre_integral(legendre_n, 20)
print('The integral of the 3rd Legendre polynomial is:', integral)
输出结果：
The integral of the 3rd Legendre polynomial is: 2.220446049250313e-15
我们可以看到，计算出来的积分值非常接近0。
示例2：在区间[-1, 1]上求解第5项Legendre多项式的积分值
我们可以使用不同的参数值来计算不同项的Legendre多项式的积分值。例如，要计算第5项Legendre多项式在区间[-1, 1]上的积分值，我们只需要将函数调用修改为：
integral = legendre_integral(legendre_n, 40)
print('The integral of the 5th Legendre polynomial is:', integral)
这里我们使用了40个Legendre-Gauss积分点来计算积分值。
输出结果：
The integral of the 5th Legendre polynomial is: 3.3306690738754696e-15
同样，计算出来的积分值也非常接近0。