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python 普通克里金（Kriging）法的实现

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Python普通克里金（Kriging）法的实现

普通克里金法是一种常用的空间插值方法，它可以用于预测未知位置的值。在本文中，我们将介绍如何使用Python实现普通克里金法，并提两个示例说明。

实现原理

普通克里金法是一种基于统计学的插值方法，它基于已知点值和它们之间的距离来预测未知点的值。具体实现步骤如下：

  1. 首先定义一个克里金模，包含变异函数和协方差函数。
  2. 然后使用已知点的值和它们之间的距离来计算协方差矩阵。
  3. 接着使用协方差矩阵和已知点的值来计算克里金模型的参数。
  4. 最后使用克里金模型和未知点的距离来预测未知点的值。

Python实现

下面是一个使用Python实现普通克里金法的示例：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist

class Kriging:
    def __init__(self, x, y, model='gaussian', sigma=1, theta=1):
        self.x = x
        self.y = y
        self.model = model
        self.sigma = sigma
        self.theta = theta

    def fit(self):
        n = len(self.x)
        self.C = np.zeros((n, n))

        for i in range(n):
            for j in range(n):
                self.C[i][j] = self.covariance(self.x[i], self.x[j])

        self.C_inv = np.linalg.inv(self.C)
        self.beta = np.dot(self.C_inv, self.y)

    def predict(self, x_new):
        k = np.zeros((len(self.x), 1))

        for i in range(len(self.x)):
            k[i] = self.covariance(self.x[i], x_new)

        y_new = np.dot(k.T, self.beta)

        return y_new

    def covariance(self, x1, x2):
        d = cdist([x1], [x2])[0][0]

        if self.model == 'gaussian':
            return self.sigma ** 2 * np.exp(-d ** 2 / (2 * self.theta ** 2))
        elif self.model == 'exponential':
            return self.sigma ** 2 * np.exp(-d / self.theta)
        elif self.model == 'spherical':
            if d <= self.theta:
                return self.sigma ** 2 * (1 - 1.5 * d / self.theta + 0.5 * (d / self.theta) ** 3)
            else:
                return self.sigma ** 2 * 1

在这个示例中，我们首先定义了一个名为Kriging的类，用于实现普通克里金法。Kriging类中，我们首先定义了一个fit函数，用于计算协方差矩阵和克里金模型的参数。然后定义了一个predict函数，用于预测未知点的值。最后定义了一个covariance函数，用于计算协方差函数。

在fit函数中，我们首先计算协方差矩阵C，然后计算C的逆矩阵C_inv和克里金模型的参数beta。

在predict函数中，我们首先计算未知点和已知点之间的协方差k，然后使用k和beta来计算未知点的值y_new。

在covariance函数中，我们根据不同的变异函数来计算协方差函数。

示例1：使用普通克里金法预测二维函数

在这个示例中，我们将使用普通克里金法预测二维函数。我们首先定义一个二维函数，然后使用Kriging类预测未知点的值，并输出结果。

import matplotlib.pyplot as plt

def f(x, y):
    return np.sin(np.sqrt(x ** 2 + y ** 2))

x = np.random.rand(20, 2)
y = f(x[:, 0], x[:, 1])

kriging = Kriging(x, y, model='gaussian', sigma=1, theta=1)
kriging.fit()

x_new = np.random.rand(100, 2)
y_new = np.zeros((100, 1))

for i in range(100):
    y_new[i] = kriging.predict(x_new[i])

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(x_new[:, 0], x_new[:, 1], y_new)
plt.show()

在这个示例中，我们首先定义了一个名为f的二维函数，然后使用np.random.rand函数生成20个随机点，并计算它们的函数值。接着使用Kriging类预测未知点的值，并使用matplotlib.pyplot库绘制预测结果。

示例2：使用普通克里金法预测一维函数

在这个示例中，我们将使用普通克里金法预测一维函数。我们首先定义一个一维函数，然后使用Kriging类预测未知点的值，并输出结果。

def f(x):
    return np.sin(x)

x = np.random.rand(20, 1)
y = f(x)

kriging = Kriging(x, y, model='gaussian', sigma=1, theta=1)
kriging.fit()

x_new = np.linspace(0, 1, 100).reshape(-1, 1)
y_new = np.zeros((100, 1))

for i in range(100):
    y_new[i] = kriging.predict(x_new[i])

plt.plot(x_new, y_new)
plt.show()

在这个示例中，我们首先定义了一个名为f的一维函数，然后使用np.random.rand函数生成20个随机点，并计算它们的函数值。接着使用Kriging类预测未知点的值，并使用matplotlib.pyplot库绘制预测结果。

总结

本文介绍了如何使用Python实现普通克里金法，并提供了两个示例：使用普通克里金法预测二维函数和一维函数。普通克里金法是一种基于统计学的插值方法，它可以用于预测未知位置的值。在实现普通克里金法时，我们首先定义了一个克里金模型，包含变异函数和协方差函数。然后使用已知点的值和它们之间的距离来计算协方差矩阵。接着使用协方差阵和已知点的值来计算克里金模型的参数。最后使用克里金模型和未知点的距离来预测未知点的值。

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