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用NumPy将多项式转换为Hermite数列

  • Post category:Python

将多项式转换为Hermite数列是一种将多项式表达为一组正交基函数的标准方法。NumPy是Python中非常流行的科学计算库，提供了丰富的功能来操作多项式和Hermite数列。以下是使用NumPy进行多项式转换为Hermite数列的详细攻略。

1. 安装NumPy库

首先需要安装NumPy库，可以使用以下命令在终端中执行：

pip install numpy

2. 导入NumPy库和其他必要库

在python文件中导入NumPy库和其他必要库，如下所示：

import numpy as np
import math

3. 定义多项式

定义一个多项式P(x)，如下所示：

def P(x):
    return 2*x**2 - 5*x + 3

4. 计算Hermite数列

使用NumPy中的hermite函数计算Hermite数列，如下所示：

n = 5    # 定义Hermite数列的阶数
x = np.linspace(-1, 1, 100)   # 定义从-1到1之间的100个点
H = np.polynomial.hermite.hermvander(x, n)   # 计算n阶Hermite数列

其中，linspace函数用于在-1到1之间等间隔地生成100个点，hermvander函数用于计算Hermite数列，并返回一个100行n+1列的矩阵，第一列为1，其余的列为Hermite多项式。

5. 计算多项式系数

将多项式展开为Hermite多项式的线性组合，需要计算多项式对应的系数。使用NumPy中的linalg.solve函数解决线性方程组，如下所示：

coeffs = np.linalg.solve(H.T @ H, H.T @ P(x))

其中，@符号表示矩阵乘法，linalg.solve函数用于解决线性方程组，H.T表示矩阵H的转置，P(x)表示多项式在x处的值。

6. 计算拟合的多项式

使用计算出的系数构造拟合的多项式，如下所示：

P_h = np.sum(coeffs[i]*H[:,i] for i in range(n+1))

其中，H[:,i]表示矩阵H的第i列，coeffs[i]为系数。

示例1

现在我们有一个多项式f(x)=1-x**2, 我们希望将该多项式展开为4阶的Hermite多项式的线性组合。可以按照以下代码来实现：

def f(x):
    return 1 - x**2

n = 4 # 定义Hermite数列的阶数
x = np.linspace(-1, 1, 100) # 定义从-1到1之间的100个点
H = np.polynomial.hermite.hermvander(x, n) # 计算n阶Hermite数列
coeffs = np.linalg.solve(H.T @ H, H.T @ f(x)) # 计算多项式系数
P_h = np.sum(coeffs[i]*H[:,i] for i in range(n+1)) # 计算拟合的多项式

示例2

现在我们有一个多项式f(x)=x3-2x2+2x-1, 我们希望将该多项式展开为6阶的Hermite多项式的线性组合。可以按照以下代码来实现：

def f(x):
    return x**3 - 2*x**2 + 2*x - 1

n = 6 # 定义Hermite数列的阶数
x = np.linspace(-1, 1, 100) # 定义从-1到1之间的100个点
H = np.polynomial.hermite.hermvander(x, n) # 计算n阶Hermite数列
coeffs = np.linalg.solve(H.T @ H, H.T @ f(x)) # 计算多项式系数
P_h = np.sum(coeffs[i]*H[:,i] for i in range(n+1)) # 计算拟合的多项式

以上就是用NumPy将多项式转换为Hermite数列的完整攻略。

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