在Python中获得Hermite系列对数据的最小二乘法拟合,需要通过以下步骤:
1. 引入库
需要引入numpy
和scipy
库来实现最小二乘法的计算,以及matplotlib
库来绘制结果图形。可以使用以下代码引入所需库:
import numpy as np
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt
2. 准备数据
需要准备输入数据X和对应的目标数据Y,以及Hermite系列的参数n。可以使用以下示例数据:
X = np.linspace(-5, 5, num=20)
Y = np.sin(X) + np.random.normal(scale=0.1, size=X.shape)
n = 8
3. 计算Hermite系列
Hermite系列是一组基函数,使用它们可以将原始数据拟合为一个多项式函数。在Python中,可以使用以下代码定义Hermite系列的函数:
def hermite(x, n):
if n == 0:
return np.ones_like(x)
elif n == 1:
return 2*x
else:
return 2*x*hermite(x, n-1) - 2*(n-1)*hermite(x, n-2)
4. 定义最小二乘函数
可以使用scipy.optimize.curve_fit
函数来实现最小二乘法拟合,需要定义一个自定义函数来传递给该函数。可以使用以下代码定义最小二乘函数:
def fit_hermite(x, *params):
n = len(params) // 2
result = 0
for i in range(n):
result += params[i] * hermite(x, i) + params[n+i] * x * hermite(x, i)
return result
5. 进行最小二乘拟合
使用scipy.optimize.curve_fit
函数进行拟合。该函数需要传递待拟合的函数、输入数据X、目标数据Y和Hermite系列的参数n。可以使用以下代码进行拟合:
params, _ = optimize.curve_fit(fit_hermite, X, Y, [0]*n*2)
6. 画出结果
可以使用matplotlib
库将拟合结果绘制出来。可以使用以下代码绘制拟合结果:
plt.scatter(X, Y)
plt.plot(X, fit_hermite(X, *params), color='red')
plt.show()
示例说明
接下来,我们使用上述步骤实现两个示例:
示例1:使用Hermite系列对二次函数进行拟合
X = np.linspace(-5, 5, num=20)
Y = X**2 + np.random.normal(scale=0.1, size=X.shape)
n = 3
def hermite(x, n):
if n == 0:
return np.ones_like(x)
elif n == 1:
return 2*x
else:
return 2*x*hermite(x, n-1) - 2*(n-1)*hermite(x, n-2)
def fit_hermite(x, *params):
n = len(params) // 2
result = 0
for i in range(n):
result += params[i] * hermite(x, i) + params[n+i] * x * hermite(x, i)
return result
params, _ = optimize.curve_fit(fit_hermite, X, Y, [0]*n*2)
plt.scatter(X, Y)
plt.plot(X, fit_hermite(X, *params), color='red')
plt.show()
上述代码将生成一个图形窗口,其中蓝色的点是输入数据,红色的曲线是拟合结果。可以看到,Hermite系列能够很好地拟合输入数据。
示例2:使用Hermite系列对正弦函数进行拟合
X = np.linspace(-5, 5, num=20)
Y = np.sin(X) + np.random.normal(scale=0.1, size=X.shape)
n = 8
def hermite(x, n):
if n == 0:
return np.ones_like(x)
elif n == 1:
return 2*x
else:
return 2*x*hermite(x, n-1) - 2*(n-1)*hermite(x, n-2)
def fit_hermite(x, *params):
n = len(params) // 2
result = 0
for i in range(n):
result += params[i] * hermite(x, i) + params[n+i] * x * hermite(x, i)
return result
params, _ = optimize.curve_fit(fit_hermite, X, Y, [0]*n*2)
plt.scatter(X, Y)
plt.plot(X, fit_hermite(X, *params), color='red')
plt.show()
上述代码将生成一个图形窗口,其中蓝色的点是输入数据,红色的曲线是拟合结果。可以看到,Hermite系列能够很好地拟合输入数据,并且在输入数据的噪声较小时也能保持很好的预测性能。