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在Python中使用NumPy对x和y的笛卡尔乘积的二维赫米特级数进行评估，并使用三维系数阵列

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当我们需要评估二维赫米特级数时，使用NumPy库提供的函数可以非常方便地完成。具体的过程如下：

  1. 首先导入NumPy库。
import numpy as np
  1. 创建x和y的笛卡尔乘积的二维数组。
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
xy_meshgrid = np.meshgrid(x, y)
xy_cartesian_product = np.column_stack([xy_meshgrid[0].ravel(), xy_meshgrid[1].ravel()])

以上代码中，首先定义x和y数组，然后使用np.meshgrid()函数创建笛卡尔积的二维数组。最后使用np.column_stack()函数把二维数组展开成一维数组并进行纵向堆叠得到最终的笛卡尔积二维数组。

  1. 创建三维系数阵列。
coefficients = np.array([[[0.5, 1.0], [1.0, 2.0], [1.5, 3.0]], [[-0.5, -1.0], [-1.0, -2.0], [-1.5, -3.0]]])

以上代码中，首先定义了一个三维数组coefficients，其中第一维表示二维赫米特级数的偶数项系数，第二维表示奇数项系数，第三维表示笛卡尔积的元素位置。在这个例子中，我们使用了一些随机值。

  1. 计算二维赫米特级数。
hermite_2d = np.sum(coefficients[:, 0] * np.exp(-xy_cartesian_product[:, 0] ** 2) * np.exp(-xy_cartesian_product[:, 1] ** 2) +
                    coefficients[:, 1] * np.exp(-xy_cartesian_product[:, 0] ** 2) * np.exp(-xy_cartesian_product[:, 1] ** 2) * xy_cartesian_product[:, 1], axis=1)

以上代码中，使用np.exp()函数计算exponential函数，使用*号表示元素对应相乘，使用+号表示元素对应相加。axis参数用于指定sum函数操作的轴。在这个例子中，我们计算了符合奇偶性的二维赫米特级数，其中奇数项还乘以y轴坐标。

下面展示两个具体的示例：

例子1：计算常用的二维调和振荡器的赫米特级数

# 定义x和y的范围和分辨率
x_min, x_max = -5, 5
y_min, y_max = -5, 5
num_points = 100
x = np.linspace(x_min, x_max, num_points)
y = np.linspace(y_min, y_max, num_points)

# 创建笛卡尔积
xy_meshgrid = np.meshgrid(x, y)
xy_cartesian_product = np.column_stack([xy_meshgrid[0].ravel(), xy_meshgrid[1].ravel()])

# 创建系数阵列
coefficients = np.array([[[0.0, 0.0], [0.0, 1.0], [0.0, 0.0]], [[0.0, 0.0], [1.0, 0.0], [0.0, 0.0]]])

# 计算二维赫米特级数
harmonic_oscillator = np.sum(coefficients[:, 0] * np.exp(-xy_cartesian_product[:, 0] ** 2 - xy_cartesian_product[:, 1] ** 2) +
                                coefficients[:, 1] * np.exp(-xy_cartesian_product[:, 0] ** 2 - xy_cartesian_product[:, 1] ** 2) * xy_cartesian_product[:, 1], axis=1)

# 显示结果
import matplotlib.pyplot as plt

harm_osc_2d = harmonic_oscillator.reshape(num_points, num_points)
fig, ax = plt.subplots()
cmap = ax.contourf(x, y, harm_osc_2d)
fig.colorbar(cmap)
plt.show()

以上代码中，我们定义了一个常见的二维调和振荡器的系数阵列，计算了相应的赫米特级数，并使用了matplotlib绘制了等高线图。

例子2：计算一个不完整的三维赫米特级数

# 定义x,y,z的范围和分辨率
x_min, x_max = -5, 5
y_min, y_max = -5, 5
z_min, z_max = 0, 5
num_points = 100
x = np.linspace(x_min, x_max, num_points)
y = np.linspace(y_min, y_max, num_points)
z = np.linspace(z_min, z_max, num_points)

# 创建笛卡尔积
xyz_meshgrid = np.meshgrid(x, y, z)
xyz_cartesian_product = np.column_stack([xyz_meshgrid[0].ravel(), xyz_meshgrid[1].ravel(), xyz_meshgrid[2].ravel()])

# 创建系数阵列
coefficients = np.array([[[0.5, 1.0], [1.0, 0.0], [1.5, 3.0]], [[-0.5, -1.0], [-1.0, 2.0], [-1.5, -3.0]]])

# 计算三维赫米特级数
hermite_3d = np.sum(coefficients[:, 0] * np.exp(-xyz_cartesian_product[:, 0] ** 2 - xyz_cartesian_product[:, 1] ** 2) *
                        np.exp(-xyz_cartesian_product[:, 2]) +
                    coefficients[:, 1] * np.exp(-xyz_cartesian_product[:, 0] ** 2 - xyz_cartesian_product[:, 1] ** 2) *
                        np.exp(-xyz_cartesian_product[:, 2]) * xyz_cartesian_product[:, 1] +
                    coefficients[:, 2] * np.exp(-xyz_cartesian_product[:, 0] ** 2 - xyz_cartesian_product[:, 1] ** 2) *
                        np.exp(-xyz_cartesian_product[:, 2]) * xyz_cartesian_product[:, 2] ** 2, axis=1)

# 显示结果
herm_3d = hermite_3d.reshape(num_points, num_points, num_points)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.set_xlim3d(x_min, x_max)
ax.set_ylim3d(y_min, y_max)
ax.set_zlim3d(z_min, z_max)
ax.voxels(xyz_meshgrid[0], xyz_meshgrid[1], xyz_meshgrid[2], herm_3d > 0, facecolor='green', alpha=.3, edgecolor='k')
plt.show()

以上代码中，我们定义了一个不完整的三维赫米特级数的系数阵列，计算了相应的赫米特级数，并使用了matplotlib绘制了三维体素图。

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