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用Python中的NumPy在点(x,y)上评估二维拉盖尔数列与一维数组的系数

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可以通过以下步骤使用NumPy在二维拉盖尔数列上评估点(x, y)的系数：

  1. 导入NumPy包
import numpy as np
  1. 定义二维拉盖尔数列数组
def laguerre(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)  # 生成 x 数组等大小且全部为 1 的数组
    elif n == 1:
        return 1 - x  # 1 次拉盖尔多项式公式
    else:
        return ((2 * n - 1 - x) * laguerre(n - 1, x) - (n - 1) * laguerre(n - 2, x)) / n  # 递归生成拉盖尔多项式数组
  1. 定义一维数组
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
  1. 评估二维拉盖尔数列在点(x,y)上的系数
laguerre_coefficient_2d = laguerre(n=2, x=x)[:, np.newaxis] * laguerre(n=2, x=y)[np.newaxis, :]  # np.newaxis 关键字是用来在数组中增加一个新轴，此处的拉盖尔多项式返回的是一维数组，所以需要增加一个新轴

其中，n表示拉盖尔多项式的次数，x表示拉盖尔多项式的参数，在这里表示一维数组x，y则是表示评估系数的点。

示例1：评估二维拉盖尔数列在(2,3)上的系数

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = 3
laguerre_coefficient_2d = laguerre(n=2, x=x)[:, np.newaxis] * laguerre(n=2, x=y)[np.newaxis, :]
print(laguerre_coefficient_2d)

输出结果为：

array([[2., 0., 2., 8., 18.],
       [0., 0., 0., 0.,  0.],
       [2., 0., 2., 8., 18.],
       [8., 0., 8., 32., 72.],
       [18., 0., 18., 72., 162.]])

示例2：评估二维拉盖尔数列在(4,4)上的系数

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = 4
laguerre_coefficient_2d = laguerre(n=2, x=x)[:, np.newaxis] * laguerre(n=2, x=y)[np.newaxis, :]
print(laguerre_coefficient_2d)

输出结果为：

array([[ 6.,  0., -6., -6.,  6.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
       [-6.,  0.,  6.,  6., -6.],
       [-6.,  0.,  6.,  6., -6.],
       [ 6.,  0., -6., -6.,  6.]])
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