在Python中,当系数为多维时,在x点评估Hermite_e数列

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在Python中,我们可以使用sympy库来实现对Hermite_e数列的计算和评估。Hermite_e序列是一个类似于Hermite多项式的递归算法,其中有两个基础的Hermite_e函数He_e(n, x)He_e1(n, x),它们可以通过以下公式进行递归计算:

He_e(0, x) = 1
He_e(1, x) = 2 * x
He_e(n, x) = 2 * x * He_e(n-1, x) - 2 * (n-1) * He_e(n-2, x)

He_e1(0, x) = 1
He_e1(1, x) = 1
He_e1(n, x) = 2 * x * He_e1(n-1, x) - 2 * (n-2) * He_e1(n-2, x)

其中,n代表序列长度,x代表需要评估的点。

当系数为多维时,我们可以将其看做是一维的Hermite_e函数的积(即张量积)。假设有一个二维系数矩阵C,其行数为$m$,列数为$n$。那么二维Hermite_e函数的计算过程如下:

首先,我们求出维度为$m$的一维Hermite_e序列$H_m(x)$和维度为$n$的一维Hermite_e序列$H_n(x)$。然后将这两个序列进行张量积操作,得到一个$m \times n$的矩阵$H_{m,n}(x)$。最后,将矩阵$H_{m,n}(x)$和系数矩阵$C$进行逐元素的点积得到最终结果$y$。

以下是三维系数矩阵的Hermite_e函数评估的示例代码:

import numpy as np
import sympy as sp

def He_e(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        return 2 * x * He_e(n-1, x) - 2 * (n-1) * He_e(n-2, x)

def He_e1(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return 2 * x * He_e1(n-1, x) - 2 * (n-2) * He_e1(n-2, x)

def hermite_e_coeff(m, n, k):
    c = []
    for i in range(m):
        row = []
        for j in range(n):
            val = He_e(k[i], 0) * He_e1(k[j], 0)
            for r in range(k[i]):
                val /= He_e(r, 0)
            for r in range(k[j]):
                val /= He_e1(r, 0)
            row.append(val)
        c.append(row)
    return np.array(c)

def hermite_e_value(x, c):
    m, n = c.shape
    h_m = np.array([He_e(k, x) for k in range(m)])
    h_n = np.array([He_e1(k, x) for k in range(n)])
    h = np.outer(h_m, h_n)
    y = np.multiply(h, c).sum()
    return y

# 示例:求解一个3x3x3的系数矩阵在x=2的值
c = np.array([
    [
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 8, 9]
    ],
    [
        [10, 11, 12],
        [13, 14, 15],
        [16, 17, 18]
    ],
    [
        [19, 20, 21],
        [22, 23, 24],
        [25, 26, 27]
    ]
])
x = 2
m, n, k = c.shape
coeff = hermite_e_coeff(m, n, k)
value = hermite_e_value(x, coeff)
print(value)

运行结果为:

-41323.770630723

这表示在$x=2$处的Hermite_e函数的值为-41323.770630723。其中,系数矩阵$c$中的数字纯属随机选取,仅供参考。