下面是动态规划算法的完整攻略。
什么是动态规划算法？
动态规划算法是一种通过将原问题分成如此多的子问题，以简化问题的复杂程度的算法。在动态规划中，每个问题只解决一次，并将其解决方案存储，以便在需要时直接访问。动态规划通常用于优化问题，并且作为一种技术常常用于计算机编程。
如何使用动态规划算法？
以下是使用动态规划算法解决问题的步骤：
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设计状态：
首先，需要定义状态。状态表示了原问题和子问题的解决方案。定义状态通常需要深入分析原问题。状态的设计和原问题紧密相关。 -
确定状态转移方程：
状态转移方程是一个基本的递归式，用于计算子问题的解决方案。状态转移式可以根据状态定义和原问题的关系得到。 -
定义初始条件：
递归需要一个终止条件，否则递归将无法结束。这种情况被称为基本情况。基本情况是初始条件的一个特例。 -
编写并计算代码：
根据状态定义，状态转移式和初始条件，以递归方式编写和计算代码。通常采用记忆化搜索或迭代法实现。 -
优化解决方案：
如果计算出的解决方案仍然过于复杂，请考虑优化解决方案的算法。例如，可以尝试使用记忆化搜索、迭代法、自底向上的动态规划等方法。
示例1：斐波那契数列
乍一看，斐波那契数列问题似乎不需要动态规划。但是，如果使用朴素递归的方法来求解，则需要计算许多重叠的子问题。为了避免这种重复计算，我们可以使用动态规划计算斐波那契数列。
首先，定义Fib(n)表示第n个斐波那契数，状态可以表示为Fib(n)。显然，Fib(n)是由Fib(n-1)和Fib(n-2)相加而成。这就是状态转移方程：Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)，初始条件是Fib(0)=0和Fib(1)=1。递归具有相同的形式，但使用动态规划可以更好地解决问题。
以下是使用动态规划解决斐波那契数列问题的Python代码：
def fibonacci(n):
if n < 0:
return -1
elif n == 0 or n == 1:
return n
else:
f = [0 for i in range(n+1)]
f[0] = 0
f[1] = 1
for i in range(2, n+1):
f[i] = f[i-1] + f[i-2]
return f[n]
示例2：0/1背包问题
0/1背包问题是一个经典的动态规划问题。假设我们有一组物品，每个物品都有一个价值和一个重量，我们要将这些物品装入一个容量为C的背包中，以最大化背包的总价值。简单起见，假设物品不能被分割成部分，因此在问题中是0/1问题。
首先，定义dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值，状态可表示为dp[i][j]。现在考虑背包问题的状态转移方程。
如果我们不把第i个物品放进背包，则最大价值不变，因为我们仍然使用前i-1个物品去填充背包。所以dp[i][j]的状态可以从dp[i-1][j]转移而来。
如果我们把第i个物品放进背包，则最大价值应该是dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，其中w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。由于数据和物品都是离散的，所以我们可以使用0-1条件来表示。如果物品的重量超过背包容量，我们不能将它放入背包中。因此，当j<w[i]时，我们不考虑这个物品，它的价值为0。
综合上述两种情况，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。
另外，我们需要考虑一下初始条件。当j=0时，我们仅能得到0元价值。当i=0时，我们无法放任何物品。
以下是使用动态规划解决0/1背包问题的Python代码：
def knapsack(C, w, v):
n = len(w)
dp = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, C+1):
if j < w[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
return dp[n][C]