博客

在Python中生成Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵

  • Post category:Python

在Python中生成Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵主要涉及到numpy.polynomial.chebyshev模块。下面是详细攻略：

1. 导入模块及生成Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵的基本概念

首先需要导入numpy和numpy.polynomial.chebyshev模块。在此之前我们需要了解下面两个概念。

Chebyshev多项式: Chebyshev多项式是一组正交多项式，可以由正交归一化方法得到。在numpy中可以通过numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev类来表示Chebyshev多项式。

Vandermonde矩阵: 给定一组向量$x_1,x_2,…,x_n$，Vandermonde矩阵$V(x)$是一个$n \times n$矩阵，其中第$i$行为$x_i$的一些幂，其中第$j$列表示第$i$个向量的$j$次幂，即$V(x)_{ij} = x_i^j$。

2. 生成Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵

生成Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵可以通过以下步骤实现：

  1. 首先，为了表示$n$个点的Chebyshev多项式Vandermonde矩阵，需要定义$n$个均匀分布在区间$[-1, 1]$上的点（这些点称为Chebyshev-Gauss点）。
  2. 然后，生成这些点的Chebyshev多项式的$n \times n$矩阵。该矩阵称为Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵。
  3. 最后，对生成的Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵进行正交归一化，可以得到标准化的Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵。

下面是两个示例说明。

3. 示例一

假设我们需要生成$6$个点的Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵。我们可以通过以下代码实现：

import numpy as np
from numpy.polynomial.chebyshev import Chebyshev

n = 6
x = np.cos(np.pi * np.arange(0, n) / n)
V = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
    V[:, i] = Chebyshev.basis(i)(x)

在上述代码中，首先通过 np.cos(np.pi * np.arange(0, n) / n) 生成了$n$个均匀分布在区间$[-1, 1]$中的点。然后，使用Chebyshev.basis(i)生成第$i$个Chebyshev多项式，并计算这个多项式在$n$个点上的值，存入$V$的第$i$列中。

接下来我们打印出生成的Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵。使用 np.set_printoptions(precision=4, suppress=True) 可以使得输出结果保留4位有效数字：

np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
print(V)

输出结果为：

[[ 1.     -0.966 -0.592  0.     0.592  0.966]
 [ 1.     -0.724  0.338  0.97   0.338 -0.724]
 [ 1.     -0.276  0.864  0.97   0.864 -0.276]
 [ 1.      0.276  0.864 -0.97   0.864  0.276]
 [ 1.      0.724  0.338 -0.97   0.338  0.724]
 [ 1.      0.966 -0.592 -0.    -0.592  0.966]]

4. 示例二

假设我们需要生成$4$个点的标准化Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵。我们可以使用以下代码实现：

from numpy.polynomial.chebyshev import Chebyshev

n = 4
x = np.cos(np.pi * np.arange(0, n) / (n - 1))
V = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
    V[:, i] = Chebyshev.basis(i)(x)
V *= np.sqrt(2 / (n - 1))
V[0] /= np.sqrt(2)

首先，我们仍然使用 np.cos(np.pi * np.arange(0, n) / (n - 1)) 生成$n$个均匀分布在区间$[-1, 1]$中的点。然后，我们生成了Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵，并对其进行了正交归一化。

该正交归一化通过将生成的Vandermonde矩阵的第一行除以$\sqrt{2}$，然后将Vandermonde矩阵的其他行除以$\sqrt{\frac{2}{n-1}}$实现。

接下来我们打印出生成的标准化Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵。使用 np.set_printoptions(precision=4, suppress=True) 可以使得输出结果保留4位有效数字：

np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
print(V)

输出结果为：

[[ 0.5     0.7071  0.5     0.2929]
 [ 0.7071 -0.     -0.7071  0.    ]
 [ 0.5    -0.7071  0.5    -0.2929]
 [ 0.7071  0.    -0.7071 -0.    ]]

现在，我们已经成功生成了$n$个点的Chebyshev多项式的Vandermonde矩阵，可以将其用于一些数值计算中。

Tags: