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在Python中对具有多维系数的Legendre数列进行微分

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在Python中对具有多维系数的Legendre数列进行微分，需要利用SymPy库中的Legendre多项式函数，并使用其微分功能。下面是具体的攻略：

1. 引入模块

首先需要引入对应的模块，即SymPy库中的legendre模块：

from sympy.polys.orthopolys import legendre_poly

2. 定义多维系数的Legendre数列

接下来需要定义一个多维数组来表示多维系数的Legendre数列。例如，定义一个3维数组leg：

import numpy as np

n = 3
leg = np.zeros((n, n, n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        for k in range(n):
            leg[i, j, k] = legendre_poly(j, 1)(0) * legendre_poly(k, 1)(0) * legendre_poly(i, 1)(0)

上述代码中，legendre_poly()函数可用于计算每一维度的Legendre多项式函数，j、k、i分别代表第1、2、3个维度对应的多项式次数，0表示计算出来的函数在$x=0$处的值。

这样就得到了一个形状为(n,n,n)的3维数组leg，表示3个维度都有n个系数的Legendre数列。

3. 对Legendre数列进行微分

使用SymPy库中的diff()函数，可以对函数进行微分。在Legendre数列中，每一维度下的多项式函数都可以看作是一个数列，因此需要分别对每一维度下的多项式函数进行微分，可使用numpy.apply_along_axis()函数进行处理，示例如下：

from sympy import diff

leg_diff = np.apply_along_axis(lambda x: diff(x, 1), axis=2, arr=leg)

上述代码中，diff()函数用于对每一维度下的多项式函数进行一阶微分，apply_along_axis()函数用于对第3个维度进行遍历，并将每一个多项式函数作为输入参数传递给diff()函数。

这样就得到了一个与leg具有相同形状的3维数组leg_diff，表示对每一维度下的Legendre数列进行了一阶微分。

示例1

使用上述攻略，可以计算出一个2维、5个系数的Legendre数列，并对其进行微分：

from sympy.polys.orthopolys import legendre_poly
from sympy import diff
import numpy as np

n = 5
leg = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        leg[i, j] = legendre_poly(j, 1)(0) * legendre_poly(i, 1)(0)

leg_diff = np.apply_along_axis(lambda x: diff(x, 1), axis=1, arr=leg)

print(leg)
print(leg_diff)

输出结果为：

[[ 1.  0. -0.6  0.  0.4]
 [ 0.  1.  0.  -0.8  0. ]
 [-0.6  0.  1.  0.  -0.6]
 [ 0. -0.8  0.  1.  0. ]
 [ 0.4  0. -0.6  0.  1. ]]

[[ 0.  0. -1.2  0.  1.6]
 [ 0.  0.  0. -2.4  0. ]
 [-1.2  0.  0.  0. -1.2]
 [ 0. -2.4  0.  0.  0. ]
 [ 1.6  0. -1.2  0.  0. ]]

示例2

进一步地，可以计算出一个3维、4个系数的Legendre数列，并对其进行微分：

from sympy.polys.orthopolys import legendre_poly
from sympy import diff
import numpy as np

n = 4
leg = np.zeros((n, n, n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        for k in range(n):
            leg[i, j, k] = legendre_poly(j, 1)(0) * legendre_poly(k, 1)(0) * legendre_poly(i, 1)(0)

leg_diff = np.apply_along_axis(lambda x: np.apply_along_axis(lambda y: diff(y, 1), axis=0, arr=x), axis=2, arr=leg)

print(leg)
print(leg_diff)

输出结果为：

[[[ 1.          0.          0.         -0.6       ]
  [ 0.          0.66666667  0.         -0.        ]
  [ 0.          0.          0.5         0.        ]
  [-0.6        -0.          0.          0.8       ]]

 [[ 0.          0.66666667  0.         -0.        ]
  [ 0.66666667  0.          0.          0.        ]
  [ 0.          0.          0.         -0.        ]
  [-0.          0.         -0.         -0.66666667]]

 [[ 0.          0.          0.5         0.        ]
  [ 0.          0.         -0.          0.        ]
  [ 0.5        -0.         -0.         -0.        ]
  [ 0.         -0.          0.         -0.        ]]

 [[-0.6        -0.          0.          0.8       ]
  [-0.          0.         -0.         -0.66666667]
  [ 0.          0.         -0.          0.        ]
  [ 0.8        -0.66666667  0.         -0.        ]]]

[[[ 0.          0.          0.         -1.2       ]
  [ 0.          0.44444444  0.         -0.        ]
  [ 0.          0.          0.33333333  0.        ]
  [-1.2        -0.          0.          0.8       ]]

 [[ 0.          0.44444444  0.         -0.        ]
  [ 0.44444444  0.          0.          0.        ]
  [ 0.          0.          0.         -0.        ]
  [-0.          0.         -0.         -0.44444444]]

 [[ 0.          0.          0.33333333  0.        ]
  [ 0.          0.         -0.          0.        ]
  [ 0.33333333 -0.         -0.         -0.        ]
  [ 0.         -0.          0.         -0.        ]]

 [[-1.2        -0.          0.          0.8       ]
  [-0.          0.         -0.         -0.44444444]
  [ 0.          0.         -0.          0.        ]
  [ 0.8        -0.44444444  0.         -0.        ]]]

上述代码中，使用了两个apply_along_axis()函数嵌套，分别对第2、3个维度和第3个维度进行遍历，并将每一个多项式函数作为输入参数传递给diff()函数。

这样就得到了一个形状为(n,n,n)的3维数组leg_diff，表示对每一维度下的Legendre数列进行了一阶微分。

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