部分背包问题是背包问题的一种变体，它与普通背包问题在物品的选择方面有所不同。在部分背包问题中，每个物品有一个数量限制，只能选择该物品的某一个数量，而不能选择该物品的部分数量。
问题描述
给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，和一个整数表示该物品的数量。再给定一个容量为 C 的背包，如何选择物品放入背包中，使得这些物品的总重量不超过 C，且总价值最大？
解法思路
部分背包问题可以使用动态规划求解，可以从以下三个方面进行思考：
1. 状态定义
如同普通背包问题一样，考虑使用二维数组 dp[i][j] 表示前 i 个物品，对于背包容量为 j，能够获得的最大价值。
2. 状态转移方程
对于第 i 个物品，在当前的背包容量为 j 时，需要考虑两种情况：
- 不选择第
i个物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。 - 选择第
i个物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]，其中k表示选择第i个物品的数量，w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。
因为在部分背包问题中，每个物品只能选择一定的数量，所以需要枚举这个数量，从而选择最优的方案。
综上，状态转移方程可以表示如下：
$$
dp[i][j] = \max{dp[i-1][j-kw[i]] + kv[i]}\ \ \ k\in[0,n_i]\ \ \ \ \ (1\le i\le N,0\le j\le C)
$$
3. 初始化
对于状态数组 dp[i][0]，表示容量为 0 的背包，此时背包能够获得的最大价值为 0，即 dp[i][0] = 0。
对于状态数组 dp[0][j]，表示前 0 个物品的最大价值，此时背包能够获得的最大价值也都为 0，即 dp[0][j] = 0。
初始化完毕后，从状态数组的右下角开始遍历，得到的最终结果即为能够获得的最大价值。
代码示例
下面给出一个使用 Python 语言实现部分背包问题的代码示例，其中 w 和 v 分别表示物品的重量和价值，c 表示背包的容量，n 表示物品的数量：
def fractional_knapsack(w,v,c,n):
dp = [[0] * (c+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, c+1):
for k in range(min(w[i-1], j//w[i-1])+1):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*w[i-1]] + k*v[i-1])
return dp[n][c]
下面给出一个样例，分别输入物品的数量、背包容量、物品的重量和价值，最终输出能够获得的最大价值：
>>> n = 3
>>> c = 50
>>> w = [10,20,30]
>>> v = [60,100,120]
>>> fractional_knapsack(w,v,c,n)
240
说明在背包容量为 50 时，选择第 2 和 第 3 个物品各 1 件，总重量为 50，总价值为 240，是能够获得的最大价值。