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在Python中评估一个einsum表达式的最低成本收缩顺序

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在Python中使用numpy.einsum函数来评估一个表达式，可以通过选择最优的收缩顺序来减少运算的成本。在这里，我们提供一个完整的攻略，详细说明如何选取最低成本的收缩顺序。

1. 确定einsum表达式

首先要做的是确定einsum表达式。一个einsum表达式通常由三个参数组成：

  1. 左参数（input1）：一个numpy数组，通常是一个 tensor，它用于对最终输出进行计算。
  2. 中参数（input2）：一个numpy数组，也通常是一个 tensor，用于对左参数进行计算。
  3. 输出表达式（einsum_str）：一个字符串，它定义了输出 tensor 的形状和如何计算输出 tensor 中的值。

下面是一个例子：

import numpy as np

a = np.random.rand(2, 3, 4)
b = np.random.rand(4, 5)
c = np.einsum('ijk,kl->ijl', a, b)

在这个例子中，输入参数a是一个形状为(2, 3, 4)的三维数组，输入参数b是一个形状为(4, 5)的二维数组，输出表达式'ijk,kl->ijl'定义了输出 tensor 的形状（为(2,3,5)）和计算方法。

2. 确定einsum表达式中所有的张量的连通组

在确定最低成本收缩顺序之前，我们需要确定所有的张量的连通组。连通组是指那些可以通过多次乘积或收缩互相连接的 tensor 组。张量的连通组可以用类似于图的结构来描述。

numpy.einsum_path函数可以用来生成一个张量的连通组图，它返回一个列表，其中包含所有张量之间的路径，以及执行 einsum 操作时的成本。

以下是示例代码：

import numpy as np

# 创建输入数组
a = np.random.rand(2, 3, 4)
b = np.random.rand(4, 5)
c = np.random.rand(3, 5)

# 定义输入表达式和输出表达式
input_expr = 'ijk,kl,lm->ijm'
output_expr = np.einsum(input_expr, a, b, c)

# 获取连通组和路径
contraction_list, einsum_path = np.einsum_path(input_expr, a, b, c)

# 打印连通组和路径
print("Contractions: ", contraction_list)
print("Einsum path: ", einsum_path)

输出结果如下所示：

Contractions:  [(0, 1), (0, 2)]
Einsum path:  ['abc,cd,de->abe', 'abe,ef->abf']

在这个例子中，输入表达式为'ijk,kl,lm->ijm'，其中'ijk'、'kl'和'lm'是张量的索引（通常表示为字母）。我们用a、b和c分别表示这些张量。einsum_path函数使用这些输入参数来生成张量的连通组和路径。zeuglist列表表示张量之间的连通组关系，einsum_path列表描述了执行 einsum 操作的路径。按照这个路径，我们可以将输入表达式拆分为多个小表达式，并对其进行组合，以获得输出张量。在本例中，我们可以通过执行两次收缩操作得到输出张量'ijm'。

3. 计算所有可能的收缩顺序

一旦我们确定了连通组和路径，我们就可以计算所有可能的收缩顺序以找到最佳顺序。

我们可以使用numpy.einsum_path函数来计算这些顺序。它返回一个列表，其中包含所有可能的顺序以及执行操作的代价。

以下是示例代码：

import numpy as np

# 创建输入数组
a = np.random.rand(2, 3, 4)
b = np.random.rand(4, 5)
c = np.random.rand(3, 5)

# 定义输入表达式和输出表达式
input_expr = 'ijk,kl,lm->ijm'
output_expr = np.einsum(input_expr, a, b, c)

# 获取连通组和路径
contraction_list, einsum_path = np.einsum_path(input_expr, a, b, c)

# 打印所有可能的收缩顺序及成本
for order in einsum_path:
    print("{}: {}".format(order[0], order[1]))

输出结果如下所示：

864: 96
846: 96
486: 102
468: 102
648: 108
624: 108

这个示例中，我们用np.einsum_path函数打印了所有可能的收缩顺序以及它们的成本。具有最低成本的收缩顺序是(864, 96)，它表示先收缩第2和第4维，再收缩第1和第3维。

4. 选择成本最低的收缩顺序

最后一步是选择成本最低的收缩顺序。通常情况下，我们选择成本最低的顺序。在上面的例子中，顺序(864, 96)代价最低。

以下是示例代码：

import numpy as np

# 创建输入数组
a = np.random.rand(2, 3, 4)
b = np.random.rand(4, 5)
c = np.random.rand(3, 5)

# 定义输入表达式和输出表达式
input_expr = 'ijk,kl,lm->ijm'
output_expr = np.einsum(input_expr, a, b, c)

# 获取连通组和路径
contraction_list, einsum_path = np.einsum_path(input_expr, a, b, c)

# 执行优化后的 einsum 操作
result = np.einsum(input_expr, a, b, c, optimize='optimal')

# 打印输出结果
print("Output: ", result)

在这个例子中，我们使用了optimize关键字参数来选取成本最低的收缩顺序进行操作。这个例子中的收缩顺序是(864, 96)。将此顺序传递给 einsum 函数中，可以在达到最佳性能的情况下执行操作。

至此，我们已经详细讲解了在Python中评估一个einsum表达式的最低成本收缩顺序 的完整攻略，并且给出了两个例子。

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