DBMS中的B+树是一种基于磁盘块的数据结构，旨在提高数据访问的效率。它的最大优点是能够减少磁盘I/O的操作次数，使得数据检索速度更快。
B+树的基本结构
B+树除了根节点和叶子节点以外，都含有若干个非叶子节点。每一个非叶子节点的结构如下：
struct Node {
int key[N];
Node* child[N + 1];
int key_num;
};
其中key数组存储节点的关键字，child数组存储节点的子节点指针，key_num是节点中关键字的数量。
叶子节点的结构如下：
struct Leaf {
int key;
Val value;
Leaf* next;
};
其中key是叶子节点的关键字，value是这个关键字对应的值，next是指向下一个叶子节点的指针。由于B+树的特殊性，叶子节点之间是有序的。
B+树的插入
插入操作可以分为两个部分：首先找到插入位置，然后将新节点插入。
为了找到插入位置，首先从根节点开始向下逐层查找。对于某个非叶子节点，如果插入的关键字值小于该节点的最小值，则继续向该节点的最左侧子节点查找；如果插入的关键字值大于该节点的最大值，则继续向该节点的最右侧子节点查找；否则，往该节点两侧的子节点中寻找合适的位置。
找到插入位置后，为了维护B+树的结构与性质，需要进行一些操作：
-
若插入节点是叶子节点，直接将新节点加入到叶子节点列表中，并将其与前一个叶子节点相连。
-
若插入节点是非叶子节点，则需要将其拆分成两个节点。将该节点的关键字值从中间切开，中间值上移，形成新的父节点，并将原节点的两侧子树分别成为新节点的两个子树。
为了保证操作后B+树的性质，可能需要多次拆分。
下面给出一个插入节点的实例：
假设要在以下B+树中插入值为34的节点：
+--+--+
| 23 | 34 |
+--+--+--+ +--+--+--+
| 4| 9|16|23 | 29|31|33|37|
首先从根节点开始查找，发现34应该插入到右侧的子树中，因此需要继续向下查找。
在第二层节点中，34应该插入到右侧的子树中。在第三层节点中，它的插入位置应该是在右侧节点的最左侧子节点中。
+--+--+
| 23 | 34 |
+--+--+--+ +--+--+--+
| 4| 9|16|23 | 29|31|33|37|
|
+--+--+--+
| |
4 9 16 23
现在，节点23中已经含有两个关键字，需要进行拆分。取中间值为29，将左侧的子树作为新节点的左子树，右侧的子树作为新节点的右子树，将29添加到原节点的父节点中。
+----+----+
| 23 | 29 |
+--+--+ +--+--+
| 4| 9|16 | |34|37|
| +--+--+--+
+--+--+--+
| |
4 9 16 23
现在，整个B+树依旧满足B+树的性质。
B+树的删除
B+树的删除操作有些复杂，需要考虑多种情况。
对于非根节点，首先需要找到要删除的节点。在找到要删除的关键字值后，需要进行以下几个操作：
-
如果要删除的节点是一个叶子节点，直接删除即可。
-
如果要删除的节点是一个非叶子节点，并且其子节点的关键字数量大于等于M/2，则将要删除节点的前驱或者后继替换到要删除的节点处，并删除其前驱或后继。
-
如果要删除的节点是一个非叶子节点，并且其子节点的关键字数量小于M/2，则需要考虑以下几个情况：
-
3.1 如果相邻兄弟节点的关键字数量大于M/2，则将一个相邻兄弟的关键字值下移，同时将父节点中对应的关键字值上移，并将上移的关键字值替换为被删除的关键字值。
-
3.2 如果相邻兄弟节点的关键字数量小于等于M/2，则将被删除节点与相邻兄弟节点合并。
对于根节点，其子节点数量可以为1，即只有一个子节点的根节点。这时，直接将子节点提升为根节点即可。
下面给出一个删除节点的实例：
假设要删除以下B+树中的值为29的叶子节点：
+----+----+
| 23 | 29 |
+--+--+ +--+--+
| 4| 9|16 | |34|37|
| +--+--+--+
+--+--+--+
| |
4 9 16 23
首先找到要删除的节点，位于右侧的叶子节点中。将其从叶子节点列表中删除，并将其与前一个叶子节点相连。
+----+----+
| 23 | 34 |
+--+--+ +--+--+
| 4| 9|16 | |37|
| +--+--+--+
+--+--+--+
| |
4 9 16 23
此时不需要进行任何调整，B+树依旧满足B+树的性质。
总结
B+树是一种重要的数据结构，用于优化数据库中数据访问的效率。它最大的优点是能够减少磁盘I/O操作次数，从而加快数据检索速度。对于B+树的实现，需要考虑插入和删除等各种操作，保证B+树的性质。