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[知识点]平衡树之Splay

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以下是关于平衡树之Splay的完整攻略，过程中包含两个示例说明。

攻略目的

本攻略的目的是帮助用户了解平衡树之Splay，包括其概念、基本操作和使用方法。攻略将提供两个示例说明。

步骤

以下是平衡树之Splay的步骤：

  1. 概念

Splay是一种自适应的平衡树，它可以在O(log n)的时间内完成插入、删除和查找操作。Splay的特点是将最近访问的节点移动到根节点，以提高下一次访问的速度。

  1. 基本操作

Splay的基本操作包括：

  • 旋转：将一个节点旋转到其父节点的位置。
  • 伸展：将一个节点旋转到根节点的位置，以提高下一次访问的速度。
  • 插入：将一个节点插入到Splay中。
  • 删除：将一个节点从Splay中删除。

  • 查找：在Splay中查找一个节点。

  • 使用方法

使用Splay的方法如下：

  • 定义Splay的节点结构体。
  • 实现Splay的基本操作。
  • 使用Splay完成具体的任务。

示例

以下是两个示例，演示了如何使用Splay完成具体的任务。

示例一

问题描述：如何使用Splay实现一个动态维护区间的数据结构？

解决方案：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node {
    int val, size;
    Node *ch[2], *fa;
    Node(int v = 0) : val(v), size(1), fa(nullptr) {
        ch[0] = ch[1] = nullptr;
    }
    bool isroot() { return !fa || fa->ch[0] != this && fa->ch[1] != this; }
    void pushup() { size = 1 + (ch[0] ? ch[0]->size : 0) + (ch[1] ? ch[1]->size : 0); }
    void pushdown() {}
    void setc(Node *p, int d) { ch[d] = p; if (p) p->fa = this; }
    int relation() { return fa->ch[1] == this; }
    void rotate() {
        Node *p = fa, *q = p->fa;
        int d = relation(), rd = ch[d ^ 1] ? ch[d ^ 1]->relation() : d;
        if (!p->isroot()) q->setc(this, q->ch[1] == p);
        p->setc(ch[d ^ 1], d);
        setc(p, d ^ 1);
        p->pushup();
        pushup();
    }
    void splay() {
        while (!isroot()) {
            if (!fa->isroot()) {
                if (relation() == fa->relation()) fa->rotate();
                else rotate();
            }
            rotate();
        }
    }
};

Node *access(Node *u) {
    Node *v = nullptr;
    for (; u; u = u->fa) {
        u->splay();
        u->ch[1] = v;
        u->pushup();
        v = u;
    }
    return v;
}

Node *findroot(Node *u) {
    access(u);
    while (u->ch[0]) u = u->ch[0];
    u->splay();
    return u;
}

void link(Node *u, Node *v) {
    access(u);
    u->splay();
    u->fa = v;
}

void cut(Node *u, Node *v) {
    access(u);
    u->splay();
    v->splay();
    u->fa = nullptr;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<Node*> nodes(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        nodes[i] = new Node(i);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int op, x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if (op == 0) {
            link(nodes[x], nodes[y]);
        } else if (op == 1) {
            cut(nodes[x], nodes[y]);
        } else {
            cout << (findroot(nodes[x]) == findroot(nodes[y]) ? "Yes" : "No") << endl;
        }
    }
    return 0;
}

示例二

问题描述：如何使用Splay实现一个动态维护序列的数据结构？

解决方案：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node {
    int val, size;
    Node *ch[2], *fa;
    Node(int v = 0) : val(v), size(1), fa(nullptr) {
        ch[0] = ch[1] = nullptr;
    }
    bool isroot() { return !fa || fa->ch[0] != this && fa->ch[1] != this; }
    void pushup() { size = 1 + (ch[0] ? ch[0]->size : 0) + (ch[1] ? ch[1]->size : 0); }
    void pushdown() {}
    void setc(Node *p, int d) { ch[d] = p; if (p) p->fa = this; }
    int relation() { return fa->ch[1] == this; }
    void rotate() {
        Node *p = fa, *q = p->fa;
        int d = relation(), rd = ch[d ^ 1] ? ch[d ^ 1]->relation() : d;
        if (!p->isroot()) q->setc(this, q->ch[1] == p);
        p->setc(ch[d ^ 1], d);
        setc(p, d ^ 1);
        p->pushup();
        pushup();
    }
    void splay() {
        while (!isroot()) {
            if (!fa->isroot()) {
                if (relation() == fa->relation()) fa->rotate();
                else rotate();
            }
            rotate();
        }
    }
};

Node *build(int l, int r) {
    if (l > r) return nullptr;
    int mid = (l + r) >> 1;
    Node *u = new Node(mid);
    u->setc(build(l, mid - 1), 0);
    u->setc(build(mid + 1, r), 1);
    u->pushup();
    return u;
}

Node *findkth(Node *u, int k) {
    u->pushdown();
    int ls = u->ch[0] ? u->ch[0]->size : 0;
    if (k <= ls) return findkth(u->ch[0], k);
    if (k == ls + 1) return u;
    return findkth(u->ch[1], k - ls - 1);
}

Node *getrange(Node *u, int l, int r) {
    Node *L = findkth(u, l - 1);
    Node *R = findkth(u, r + 1);
    L->splay();
    R->splay();
    return R->ch[0];
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    Node *root = build(1, n + 2);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int op, l, r;
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 0) {
            Node *u = getrange(root, l + 1, l + 1);
            u->val = r;
            u->pushup();
        } else {
            Node *u = getrange(root, l + 1, r + 1);
            cout << u->size - 2 << endl;
        }
    }
    return 0;
}

注意事项

在使用Splay时，需要注意以下几点：

  1. Splay的实现比较复杂，需要仔细理解每个操作的实现原理。

  2. Splay的时间复杂度为O(nlogn)，但是在实际应用中，由于其自适应性，其效率往往比其他平衡树更高。

  3. 在使用Splay时，需要注意避免出现死循环等问题。

结论

通过本攻略，用户了解了平衡树之Splay的概念、基本操作和使用方法，并学会了如何使用Splay完成具体的任务。在使用Splay时，需要注意一些细节以确保其正常工作。

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