在x、y和z的直角坐标系乘积上评估一个3-D切比雪夫级数,其系数为2d阵列

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评估一个3-D切比雪夫级数,需要按照以下步骤进行。

步骤一:确定要评估的系数

首先,需要确定要评估的系数。假设要评估一个系数为$2d$的3-D切比雪夫级数,其中$x$、$y$和$z$的直角坐标分别为$i$、$j$和$k$($i$、$j$和$k$从0开始),则该级数的一般形式为:

$$s(x,y,z) = \sum_{i=0}^{d-1}\sum_{j=0}^{d-1}\sum_{k=0}^{d-1}a_{ijk}T_i(x)T_j(y)T_k(z)$$

其中,$T_n(x)$是以$x$为变量的$n$次切比雪夫多项式,$a_{ijk}$是系数。

由于系数为$2d$的3-D切比雪夫级数的系数矩阵是一个$d\times d\times d$ 的三维数组,因此需要一个$d\times d\times d$的系数矩阵$a_{ijk}$来存储系数。

步骤二:计算系数矩阵

接下来,需要计算系数矩阵$a_{ijk}$。假设要计算一个$d=2$的系数矩阵,即一个$2\times2\times2$的三维数组,其中每个元素的值为$a_{ijk}=(-1)^{i+j+k}$。可以用以下代码块来计算系数矩阵:

import numpy as np

d = 2
a = np.zeros((d,d,d))
for i in range(d):
   for j in range(d):
      for k in range(d):
         a[i,j,k] = (-1)**(i+j+k)

步骤三:计算切比雪夫级数

最后,可以使用上述公式来计算切比雪夫级数。例如,计算$x=1,y=0,z=0$时的数值,可以使用以下代码块:

x = 1
y = 0
z = 0
T = np.polynomial.chebyshev.chebval
result = 0
for i in range(d):
   for j in range(d):
      for k in range(d):
         result += a[i,j,k]*T(x,[i])*T(y,[j])*T(z,[k])
print(result)

由于$x=1,y=0,z=0$,因此计算结果应该是$-2$。

另外,假设要计算$x=0.5,y=0.5,z=0.5$时的数值,可以使用以下代码块:

x = 0.5
y = 0.5
z = 0.5
T = np.polynomial.chebyshev.chebval
result = 0
for i in range(d):
   for j in range(d):
      for k in range(d):
         result += a[i,j,k]*T(x,[i])*T(y,[j])*T(z,[k])
print(result)

由于$x=0.5,y=0.5,z=0.5$,因此计算结果应该是$0$。