01背包问题
背景介绍
在算法中，背包问题是一个经典的问题。它的主要思想是对于一个给定容量的背包，我们如何填充最大价值的物品。
问题描述
有一个给定容量的背包，和一些物品，每个物品不同的体积和不同的价值，我们要选择一些物品放入背包中，使得背包中最大化放置的总价值。其中，每个物品最多只能被放入一次（即01背包的限制条件）。
解决方案
- 动态规划
动态规划是解决01背包问题的经典方法，其思想就是将问题拆解成若干子问题，逐步求解子问题，最终得到最优答案。
具体来说，我们定义一个二维数组 dp[i][j] 表示到第 i 个物品为止，在背包容量为 j 的情况下，放入背包中物品的最大价值。
则状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
其中，w[i] 表示第 i 个物品的体积，v[i] 表示第 i 个物品的价值。这个方程的意思是，在考虑第 i 个物品时，我们有两种选择：放或不放。如果不放第 i 个物品，最大价值就是到第 i-1 个物品为止，在背包容量为 j 的情况下的最大价值；如果放第 i 个物品，最大价值就是到第 i-1 个物品为止，在背包容量为 j-w[i] 的情况下的最大价值加上第 i 个物品的价值 v[i]。
代码实现如下：
def knapsack01(W, wt, val):
n = len(wt)
dp = [[0 for j in range(W+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, W+1):
if j - wt[i-1] < 0:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wt[i-1]]+val[i-1])
return dp[n][W]
例如，有一个背包容量为 10 的背包，有 5 种物品：
物品体积：2 3 4 5 9
物品价值：3 4 6 7 10
使用上述代码求解可以得到最大价值为 17，最优解为选择第 2、4、5 种物品放入背包中（体积分别为 3、5、9）。
- 贪心算法
贪心算法也可以用于求解01背包问题，其思想比较简单：每次将剩余能放入背包中的物品按单位价值降序排序（单位价值等于物品价值除以物品体积），然后放入单位价值最大的物品，直到背包塞满或没有物品可以放进去为止。
代码实现如下：
def knapsack01(W, wt, val):
n = len(wt)
items = [(val[i]/wt[i], wt[i], val[i]) for i in range(n)]
items.sort(reverse=True) # 按单位价值降序排序
max_val = 0
for i in range(n):
if W >= items[i][1]:
max_val += items[i][2]
W -= items[i][1]
else:
max_val += items[i][0] * W
break
return max_val
同样以上述例子为例，使用上述代码求解可以得到最大价值为 17，最优解为选择第 3、5、1 种物品放入背包中（体积分别为 4、9、2）。
示例说明
假设有一个容量为 10 的背包，有 4 种物品：
物品体积：2 3 4 5
物品价值：3 4 6 7
使用01背包问题的动态规划方法求解可以得到最大价值为 10，最优解为选择第 1、4 种物品放入背包中（体积分别为 2、5）。
使用01背包问题的贪心算法求解可以得到最大价值为 11，最优解为选择第 3、4、2 种物品放入背包中（体积分别为 4、5、3）。
总结
动态规划方法可以求出01背包问题的最优解，但时间复杂度较高，为 $O(nW)$，对于较大的数据集来说会比较耗时。贪心算法虽然时间复杂度较低，但不一定能求出最优解，因为单纯看单位价值最高的物品不一定能满足背包容量的限制，但在某些情况下可以得到很好的效果。针对不同的问题，需要根据实际情况选用合适的算法。