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详解回溯算法原理与使用方法

回溯算法详解

回溯算法是一种通过穷举所有可能的情况来求解问题的算法，它在许多问题中都有着广泛的应用，例如求解数独、迷宫等问题。在本文中，我们将详细讲解回溯算法的作用、使用方法以及两条示例说明。

回溯算法的作用

回溯算法的主要作用是在问题的解空间中进行搜索，找到所有解或者满足一定条件的解。它可以回溯到之前的状态，重新探索其他路径，直到找到解或者无法继续搜索为止。

回溯算法的使用方法

回溯算法一般包含如下步骤：

  1. 定义问题的解空间，根据问题的要求定义可行解的范围。
  2. 确定搜索顺序，即对解空间的每个部分选定顺序，即先处理哪个。
  3. 确定进入节点和回溯点，进入节点是搜索过程中的一个节点，回溯点是搜索到非法状态后需要退回到的节点。
  4. 判定是否满足要求，如果满足要求则输出解。
  5. 对每个可行的解空间，按照搜索顺序进行深度优先搜索，如果当前搜索路径导致非法状态则回溯。

下面我们将通过两个示例来进一步说明回溯算法的使用方法。

示例一：数独题解

数独是一种常见的智力游戏，其规则为将每一行、每一列、每一个九宫格内的数字从1到9填入，使得每一行、每一列、每一个九宫格内的数字都不重复。下面我们通过一个数独求解的例子来介绍回溯算法的使用方法。

定义问题的解空间为对一个空的数独九宫格格子填入数字的所有可能，搜索顺序为从左到右，从上到下的顺序。进入节点为格子中没有数字的节点，回溯点为当前路径上下一个未搜索的节点。判定是否满足要求的条件为当前填入的数字在所在行、所在列、所在九宫格内都不重复。

def solveSudoku(board):
    """
    :type board: List[List[str]]
    :rtype: void
    """
    solve(0, 0, board)

def solve(row, col, board):
    if col == len(board[row]):
        col = 0
        row += 1
        if row == len(board):
            return True
    if board[row][col] != '.':
        return solve(row, col+1, board)
    for num in '123456789':
        if isValid(row, col, num, board):
            board[row][col] = num
            if solve(row, col+1, board):
                return True
            board[row][col] = '.'
    return False

def isValid(row, col, num, board):
    box_row, box_col = 3*(row//3), 3*(col//3)
    for i in range(9):
        if board[i][col] == num or board[row][i] == num or board[box_row+i//3][box_col+i%3] == num:
            return False
    return True

这段代码中，我们使用solve函数进行递归搜索。在每一步搜索之前，我们先判断当前位置是否已经填入数字。如果已经填入数字则直接进入下一个节点；如果没有，则依次尝试填入1到9之间的数字。尝试之前需要判断该数字是否满足要求，如果满足则填入数字进行搜索，否则进行回溯。

示例二：迷宫问题

迷宫问题是一个经典的搜索问题，利用回溯算法可以方便地求解。下面我们通过一个简单的迷宫问题来介绍如何使用回溯算法。

定义问题的解空间为从起点到终点的所有路径，搜索顺序为按照上、右、下、左的顺序进行搜索。进入节点为当前节点，回溯点为上一步的节点。判定是否满足要求的条件为当前节点不超出地图边界且当前节点没有被访问。

def solveMaze(maze):
    """
    :type maze: List[List[int]]
    :rtype: bool
    """
    rows, cols = len(maze), len(maze[0])
    visited = [[False for j in range(cols)] for i in range(rows)]
    return solve_helper(0, 0, maze, visited)

def solve_helper(row, col, maze, visited):
    if row < 0 or row >= len(maze) or col < 0 or col >= len(maze[0]) or visited[row][col] or maze[row][col] == 1:
        return False
    visited[row][col] = True
    if row == len(maze)-1 and col == len(maze[0])-1:
        return True
    if solve_helper(row-1, col, maze, visited) or solve_helper(row, col+1, maze, visited) \
        or solve_helper(row+1, col, maze, visited) or solve_helper(row, col-1, maze, visited):
        return True
    visited[row][col] = False
    return False

这段代码中，我们使用solve_helper函数进行递归搜索。在每一步搜索之前，我们先判断当前节点是否超出地图范围、是否已经被访问以及当前位置是否为墙。如果不满足条件，则返回False。如果当前节点等于终点，则返回True；否则进行向上、右、下、左的搜索。如果找到了一条到终点的路径，则返回True；否则进行回溯。

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