详细讲解部分背包问题的作用与使用方法

简介

部分背包问题是动态规划算法中常见的一类问题，它是 0/1 背包问题的变种，区别在于在部分背包问题中，每个物品的重量和价值都可以是一个非负数任意实数，而在 0/1 背包问题中每个物品的重量和价值必须是一个整数。

问题形式

部分背包问题描述如下：

有一个容量为 V 的背包和 n 个物品，第 i 个物品的重量为 w[i]，价值为 v[i]。选定一些物品放入背包中，使得背包中物品的总重量不超过容量 V，且背包中物品的总价值最大。

解法

使用动态规划的思想解决部分背包问题。定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 代表在前 i 个物品中选择若干个放入容量为 j 的背包中所获得的最大价值。则有以下递推式：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]), 1<=i<=n, w[i] <=j<=V

其中 dp[i-1][j] 表示不选第 i 个物品，dp[i-1][j-w[i]]+v[i] 表示选第 i 个物品。

实现

以下是部分背包问题的 Python3 代码实现：

def knapsack(w, v, V):
    n = len(w)
    dp = [0] * (V + 1)
    for i in range(n):
        for j in range(V, w[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
    return dp[V]

示例说明

示例1

假设有一些物品，重量分别为 2, 3, 5, 7, 1，价值分别为 5, 8, 9, 4, 3。现在有一个容量为 10 的背包，求放置哪些物品能使得背包中物品的总价值最大。

w = [2, 3, 5, 7, 1]
v = [5, 8, 9, 4, 3]
V = 10
print(knapsack(w, v, V)) # 26

上面的代码中，可以看到在容量为 10 的背包中，可以放置第一个物品、第二个物品、第三个物品、第五个物品，选择这些物品最终能够得到价值总和为 26 的最优解。

示例2

假设有一些物品，重量分别为 1.2, 2.5, 3.7, 5.1, 2.2，价值分别为 8.1, 7.5, 6.3, 3.6, 4.7。现在有一个容量为 8 的背包，求放置哪些物品能使得背包中物品的总价值最大。

w = [1.2, 2.5, 3.7, 5.1, 2.2]
v = [8.1, 7.5, 6.3, 3.6, 4.7]
V = 8
print(knapsack(w, v, V)) # 19.5

上面的代码中，可以看到在容量为 8 的背包中，可以放置第一、第二、第五个物品，选择这些物品最终能够得到价值总和为 19.5 的最优解。